IJLÎLETINUI. SOCIETĂŢII HOMÂNK UE ŞTIINŢE isi 



In acest enunţ constantele X,,- reprezintă valorile caracteristice 

 ale lui N(xy) şi fn coeficienţii lui Fourier ai funcţiunii f(x) în raport 

 cu funcţiunile ortogonale ale lui N(xy). 



Pentru a demonstra această teoremă să calculăm coeficientul f„ 

 în raport cu ^j;n(x) ; avem 



f, = Jf(s)'%(s)ds =:y^>n(x)N(xs)h(s):lsdx = ^ /h(s)?n(s)ds, 



de unde 



(io) /h(s)ip„(s)ds — X„f,i. 



Insă, în virtutea teoremei lui Fischer-Riesz, condiţia necesară şi 

 suficientă pentru ca să existe o soluţiune şi una singură h(x) care 

 să verifice inegalităţile (i6), este ca seria y^^n"^"^ ^^ ^^ conver- 

 gentă. 



Funcţiunea astfel găsită, verifică ecuaţia integrală. Intr'adevăr, 

 după formaţiunea lui h(x), funcţiunile 



/N(xs)h(s(ds şi f(x) 



au aceiaşi coeficienţi Fourier în raport cu şirul închis '^^nfx); ele sunt 

 deci identice. 



Observaţie. Dacă şirul fum tiiinilor ,l|,(x) mi e închis raţio- 

 namentul precedent ne permite numai să scriin 



(11) /N(xs)h(s)ds = f(x) 4- k(x). 

 Orice ecuaţie de forma 



(12) /N(xs)h,(s)ds = f(x)4 k(^)4-ki(x) 



în care ki(x) reprezintă o altă funcţiune ortogonală cu '-pn(x), nu 

 mai e rezolubilă în O. Intr'adevăr, deducem din (i i) şi (12) prin 

 scădere : 



Jn(xs) [h(s)-h,fs)] ds=k/x), 



ceeace e imposibil. 



Deci, dacă sâmburele N(xy) nu e închis, printre ecuaţiile 



/N(xs)h(s)ds = f(x) + k(x) 



în care f(x) reprezintă o funcţiune determinată neortogonală ca 

 '^„(x), iar k(x) o funcţiune oarecare ortogonală cu funcţiunile '-pn(x), 

 există o ecuaţie şi una singură rezolubilă în 12. 



