BUJJH'INUL SOGIEIAŢJ! ItOMÂNE DE ŞTIINŢE 583 



• : 4^ Realitatea soluţiilor impune. în cazul singular, şi face să re- 

 iasă, condiţiuni restrictive din cele mai variate. 



Metodele actuale se menţin în domeniul real. Este, cu toate aces- 

 tea, necesar, de îndată ce trecem în cazul singular, de a introduce 

 variabila complexă. 



Aceasta s'a făcut deja pentru ecuaţiunea lui Volterra, şi se poate 

 încerca asemenea pentru ecuaţiunea lui Fredholm. In câteva note 

 recente, d-1 E. Picard indică o cale fecundă în această nouă 

 direcţie. 



Acest capitol este în plină perioadă de formaţiune, dar rezultate, 

 având un caracter mai mare de oeneralitate, nu sau obţinnt încă 

 în mod definitiv. Din această cauză, ne vom mărgini, pentru ecua- 

 ţiunea lui Fredholm, a dezvolta câte-va exemple şi teoreme ale 

 d-lui Picard. 



Alături de ecuaţiunile singulare propriu zise, avem de semnalat 

 clasa importantă a ecuaţiilor integrale al căror sâmbure este de 

 forma : 



N(xy) 



(x— y)a 



(o<a<i) 



.Aceste ecuaţiuni, cu ajutorul unui artificiu de calcul, pot fi tratate 

 cu succes prin metodele precedente şi au proprietăţi regulate. 



I. ECUAŢIUNEA SINGULARĂ A LUI VOLTERRA. 

 CAZUL N(o,o) = o 



2. Teorema d-lor Volterra şi Holmgren. Acest caz a fost apro- 

 fundat de d-nii V. Volterra şi E. Holmgren, în ipoteza unui sâm- 

 bure analitic, sau mai general, a unui sâmbure, care poate fi pus 

 sub forma : 



(i) N(x,y) = AoX" + A,x"-iy4-...+A.,y" + x" + 'Q(x,y) 

 = P(x,y) + x"+iO(x,y) (A, + A,H- . . . -h A„ ± o) 



Ofx,y) reprezintă o funcţiune finită în intervalul de integrare. 



lată enunţul teoremei d-lui Volterra, completată de d-1 1 lolm- 

 gren : 



Pentru ca ecuaţiunea : 



(2) rN(xs)(p(s)ds=:f(x) 



