DULETINUI- SOCIETĂŢII UOMÂNK DE ŞTIINŢE 



să aibă soluţinni reale, finite în jurul originei, trehue şi e de 

 ajuns ca : 



f(o ) = f (o) = r( o) = . . . = f('^)(o) = o 



In acest caz, ecuaţiunea{2)are k+ i solufiuni lineare inde- 

 pendente, k fiind numărul rădăcinelor cu parte reală pozitivă 

 sau nulă, a ecuaţiei în r : 



f ,\ ^0 , A| An 



Pentru a demonstra această teoremă, vom întrebuinţa ca şi în 

 cazul regulat, metoda aproximaţiilor succesive, reducând acest caz 

 la rezolvirea unei ecuaţiuni diferenţiale lineare de ordinul n şi la 

 un mecanism de aproximaţiuni succesive. 



Vom seri mai întâiu sâmburele sub forma : 



(I') a«(x) + a,(x)---^ + ....a.(x)^---f^ + ^--^ P(xy) 



X — y _ ^ ^(>^— y)" , (x— y)""''l 



punând în evidenţă necunoscuta x — y, în locul lui y. Pentru că an- 

 samblul terminilor de g-rad minim, formează un polinom omogen 

 de gradul n, rezultă că ao(x) conţine necesar x" în factor, şi în ge- 

 neral, ap(x) conţine cel puţin x"~i* în factor. 

 Avem apoi: 



ao(o) :-- Ao + Al + . . . -f An + o 



cum se vede, făcând x=y, în cele două expresiuni( i )şi ( i ')a lui N(x,y). 

 In aceste condiţiuni, ecuaţia lui Volterra se poate scrie : 



£[a„(x)+a,(x)''-^' + . . . + a„(x)'^]9(s)ds 



E de ajuns acum de a aplica formula bine cunoscută: 

 p"^'^ <?(s)ds =- /9(s)dsP+^ 

 şi de a lua ca necunoscută, în locul lui ^(x), funcţiunea ; 



z(x)-.rVs)ds"+' 



