BULETINUL .SOCIK'rAŢH HOMÂNE DE ŞIHNŢE 585 



pentru a obţine ecuaţiunea : 



d"z d"~'z /'^ 



(3) ao(x)j^ 4-ai(x)^^^_^-f ...-f-an(x)z-fj Pi(xs)z(s)ds ==: f(x). 



Dacă soluţiunea 'p(x) este finită şi continuă în orig-ină, ansamblul 

 terminilor de grad minimum în primul membru din (3) va fi de 

 gradul n-j- 1 în x ; rezultă deci că e necesar ca să avem : 



f(x)_x"+»f^(x). 



In aceste condiţiuni, aplicăm metoda aproximaţiilor succesive, 

 luând ca primă ecuaţiune de aproximaţie : 



(4) D,(z) = ao(x) ^ + a,(x) |^^ + . . . + a"(x)Zj f(x). 



Aceasta este o ecuaţie diferenţială de ordinul n, de tipul lui 

 Fuchs, a cărei soluţie o-enerală va fi dată prin expresiunea: 



(5) CiX'-iP,(x) + C2X''^P2(x)+ ... -f C"X''"P,(X)+Q,(X) (Pk(o)4: O) 



în care r^, r.2, . . r" sunt rădăcinile, presupuse întâiu distincte şi cu 

 diferenţe neîntregi, ale ecuaţiei determinante. Q|(x) înseamnă o 

 soluţie particulară a ecuaţiei (4), cu al doilea meml)ru; ea poate 

 totdeauna să se pună sub forma '): 



„ , /^^0„(x)f(x)dx ,,^ ^ 



«^ aji X 



Un mic raţionament ne arată imediat că această soluţiune este 

 totdeauna finită şi de forma x"+'q(x), dacă integralele cari fi- 

 gurează în expresia sa, au un sens. In adevăr, ordinul infinitesi- 



mal în X a expresiunii de sub semnul / care figurează în terme- 

 nul general este cel puţin -)R(n-}- 1 — n — O = R(n — ri).'Dacă deci 

 R{n — ri)>' — I, pentru ca integrala corespunzătoare să aibă un 

 sens, va trebui să luăm ai^^o ; în acest caz, ordinul infinitesimal al 

 integralei va h cel puţin egal cu R(n — ri-^-i), şi prin urmare ter- 

 menul în întregime va avea un ordin cel puţin egal cu n-j-i. 



*) Se obţine aceasta fonnulii întrebuinţ;*n(l, de exeiaplii, metoiia variaţiei constantelor. 

 ') R(x) înseamnă partea reală a Ini x. 



