586 BUl.EJ'lNUI. SOCIETĂŢII IlOMÂNE DE ŞTIINŢE 



Dacă R(n — n) ^ — i trebuie a lua ca limită inferioară o valoare 

 pentru ai arbitrară pozitivă, dar diferită de zero. Ordinul infinitesi- 

 nial va fi atunci egal cel puţin cu ri ; dar cum în acest caz avem 

 Rri 5kn-f-i, ordinul infinitesimal al termenului respectiv va fi deci 

 totdeauna cel puţin egal cu n-j-i. In toate cazurile expresiunea (5') 

 ne dă deci o soluţie a ecuaţiei (4), finită şi de ordin infinitesimal 

 cel puţin egal cu n-f- f • Dacă se lasă constantele ai t o, arbitrare, 

 expresiunea (5') reprezintă soluţiunea cea mai generală a ecuaţiei 

 (4), care e finită şi de ordin infinitesimal în x, cel puţin egalcun-f-i- 

 Ea conţine constantele arb'trare, în număr egal cu rădăcinile ecua- 

 ţiunii algebrice ( 2'), astfel ca Rn ^ n-|- 1. 



Este acum foarte uşor a demonstra convergenţa regulată a 

 aproximaţiilor succesive. In adevăr, în intervalul de integrare avem: 



I f(x) I < Mx»+i, I Pi(x) I < Pi, I Qiix) I < Oi. 



n 



Dacă deci punem Y] PiQ, N şi dacă o înseamnă cea mai mică 

 1 

 din expresiunile | n — ri-{- i | , vom avea : 



0(x)f(x):lx ^^^,, x"+i 





xn^i ^ '-' |n— ri+i| 

 şi, prin urmare, 



I zi(x) I < ^x"+i. 



P 



A doua aproximaţie este dată prin 



(6) Dlz.) ~j^'Pi(x,s)Zi(s)ds. 



Se va lua pentru z.2 aceeaş expresiune (5'), unde avem de înlo- 

 cuit f(x) prin al doilea membru din (6). 

 In virtutea inegalităţii 



j / Pj(xs)z,(s)ds 



j «- o 



Vom putea seri imediat ; 



MNx"+2 



<"7M^ (P,(xy)<-i) 





