588 ■ BULETINUL SOCIE LAŢII ROMANE 1>E SIllNŢE 



Observări, i^' Cazul rădăcinilor n eg-ale, sau cu dîferinţe în- 

 treo-i, poate să fie tratat într'un mod absolut analoga 5 introducerea 

 logaritmilor nu schimbă nimic în raţionamentul precedent. 



2*^ Problema precedentă revine la căutarea soluţiuniior finite în 

 origine, pe axa reală, a ecuaţiunii lineare de ordin infinit 



ao(x)y-j-ayix)jydx + + a„(x)/ydx" + . . . ^ f(x). 



Dacă gradul în s al sâmburelui este finit, această ecuaţie va fi de 

 ordin finit şi cădem astfel peste o chestiune cunoscută, faţă de care 

 teorema d-lor Volterra şi Holmgren este o adevărată generalizare. 



II. SÂMBURII ABELIANI 



4. Cazul general. Vom numî sâmbure abelian un sâmbure de 

 forma 



G(Ky 



(X— y)* 



I o<a< I 



Dacă G(x,x) + o, vom spune că sâmburele este de exponent a. 

 Aceşti sâmburi se întâlnesc adesea în aplicaţiuni; în afară de acea- 

 sta, ei prezintă şi un interes istoric, pentrucă sâmburele întâlnit în 

 faimoasa problemă a lui Abel este tocmai de această formă. 



Să luăm eruaţiunea de prima speţă. 



Pentru a o rezolvi, vom compune cei doi membrii a acestei ecua- 

 I 



(x— y)'-« 



ţiuni cu j-^ — ^, _^ : obţinem 



dz T'' G(zs)9(s)ds ,r^ f(z)dz 



i"^ dz / ''(j(zs)9(s)ds i'^ 



.'„ (X — z)l-«.'o (Z — S)«^ .'o (x~z)'-«' 



sau aplicând formula lui Dirichlet 



./o ' ' .'s (X— 2)1— (Z— S)« .'„ (x— Z)l — 



