Buletinul societăţii române de ştiinţe 595 



este elementul analitic al soluţiunii ecuaţiunii integrale 

 <92;(xy)=Nk+r - i(xy)-fXk|'Nk(xs)6)rr(s.y)ds. 



Ea este, deci, o funcţiune meromorfă de X, perfect determinată, 

 pentru că sâmburile Nk(xy) nu mai este singular. 

 Dar, pe de altă parte, avem : 



Ar(X) = Xkrc)rr(s.s)ds. 



Funcţiunea X{X) este deci şi ea o funcţiune meromorfă de X. 

 Al doilea membru al relaţiei (18), va reprezenta deci, el însuş o 

 funcţiune meromorfă de X, pentru că este suma a k funcţiuni me- 

 romorfe. Ori, el este identic egal cu derivata logaritmică a unei 

 funcţiuni; această din urmă funcţiune nu poate, deci, fi decât o func- 

 ţiune întreagă de X. 



10. Ordinul lui Dk(X). Extensiunea teoriei la sâmburii abe- 

 liani ^). 



Pentru a determina ordinul lui Dk(X), vom stabili mai întâiu o 

 formulă preliminară. In relaţiunea 



. ^^. ^ n^V noX^ Xk 



logD(X) = -^^ ^- ..._nk- — .... 



I 2 k 



să înlocuim X, respectiv prin X, aX, . . . a^X, însemnând prin a o 

 rădăcină primitivă de gradul k-j-i a unităţii ; obţinem 



(19) logD(X). D(aX)...D(a'^X) = -V"^^±l2p^!^ 



P=i P 



Fie Dk(X) funcţiunea determinantă a sâmburelui Nk(xy) ; se re- 

 cunoaşte îndată că al doilea membru al relaţiei (19), nu este alt- 

 ceva decât log Dk(Xi<^i). Vom avea deci, trecând de la logaritmi 

 la numere : 



D(X)D(aX) , . . D(akX) ^ Dk(X'^+i). 



Se deduce imediat 2), 



^k(X)g>k(aX) . . . 5^k(a'^X) . D(X)D(aX) , . . Dfa^X) ^ 0k(Xk-M ). 



1) A se vedea II. Poi.ncaree: Reinarques diveises sur l'equation de Fredholm (Acla Math. 

 tome. 33. 1910) şi T. Lai.esco. Sur l'ordre de la fonction D{1) de Predholm. (Compte Rendus 

 Paris t. 145 pag. 136). 



') Se poate stabili, prin aceeaş metoda, r> fnrinulă analoagă pentru G^l(xy'k)' avem : 



&I{xy, X). Q)I{xy ; aX) . . . . Q>Z{xy ; a^X) = Skixy ; X^+i) 4- 



Ke^tultă şi o formulă analoagă pentru l-'k(xy,X). 



