BULETINUL SOCIGTĂŢri ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



Fie acum m ordinul lui S^k(X). Cum funcţiunile Q>A^^'k) au evi- 

 dent acelaş ordin, produsul lor va fi şi el de ordinul m. Dar ega- 

 litatea precedentă ne arată că ordinul produsului este egal cu acel 

 a lui ^kC^'^+M, care îl ştim, este cel mult egal cu 2^k-}- i). Re- 

 zultă deci că m ^ 2(k+ i). 



Ordinul funcţiunii Dk(A) este deci cel mult egal cu 2k -|- 2. 



Formula 



ne permite atunci de a conchide teorema următoare : 



Condiţiunea necesară şi suficientă pentru ca un sâmbure 

 abelian, de exponent a şi k^), să nu aibă nici o valoare carac- 

 teristică, este ca urmele sale, plecând de la acea de rang 

 2k-\- S^ să fie toate nule. 



Toată teoria sâmburilor regulaţi, este atunci in întregime apli- 

 cabilă şi sâmburilor abeliani. 



Observare. Pentru cazul când a ^ -, se poate uşor obţine su- 

 primarea factorului e^i-*, în chiar formulele lui Fredholm. 



E de ajuns pentru aceasta de a înlocui în fiecare din determi- 

 nanţii Nf'^^''2 ■ • • ^'"p^ şi N f ^^i'^^ • • • >^P j termenii diagonalei prin- 



cipale prin zero. 



Această elegantă observaţie este datorită d-lui D. Hilbert-); ea 

 pate greu susceptibilă de ar fi direct generalizată. 



1 1 . Ecuaţiunea lui Fredholm în domeniul complex. Considerăm 

 ecuaţiunea : 



9(x) — X /N(xs)9(s)ds = f(x] 



unde N(xy) înseamnă o funcţiune analitică întreagă, în raport cu 

 variabilele x şi y. Să luăm în locul intervalului real (a,b) o curbă 

 oarecare de integrare Cj, între afixele a şi b. Formulele d-lui 

 Fredholm sunt evident aplicabile şi pe drumul complex C,, cu 



') Se poate însemna astfel, jientru prescurtare uii sâmbure abeliaii de exponent a, al cSrui 

 sâmbure it^rat de k ori, este primul care nu se mai anuleaz'd pentru x = y. 

 ') GoTT. Nachr, Erste Mitt. 1904, pag. 81. 



