600 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



adăug-â în urmă o observaţie importantă datorită d-lui E. Picard. 

 anume că, în cazul singular, caracterul analitic în X al soluţîunii, 

 depinde esenţial de al doilea membru. 



14. Exemplu de spectru segmentar. Să considerăm ecuaţiunea 

 integrală : 



(2 1) ©(x) — >^ / 'e-('=->^)9)s)ds = f(x). 

 Căutăm în ce caz ecuaţiunea omogenă 



(22) ©(x)— X/ 'e-(-^-%(s)ds==o 



va admite soluţiuni. 



Derivăm pentru aceasta (21) de două ori în şir, ceea ce ne dă 

 ecuaţiunile 



(^3) 9'(x)-}-Xe-^/ 'e=^î)(s)ds — XeW 'e-'^9(s)ds=rr(x) 



(24) 9"(x)+(2X— i)9(x) = f"(x)— fMx). 

 Deci, orice soluţie a lui (22), trebuie să verifice ecuaţia 



(25) ©"(X) + (2X— I )9(X) r= O. 



Reciproc^ ne ridicăm de la (24) la (21) prin două integrări suc- 

 cesive; pentru ca constantele de integrare să fie nule, trebuie şi e 

 deajuns ca : 



9'(o)— X ^ "'e-^îp(s)ds = f'( o) 



(26) ' ;;v. 



9(0) — Xi e-s^(s)ds = f(o) 



ce se obţin făcând x=o în relaţiunile (23) şi (21). Prin urmare, 

 orice soluţie a lui (25) care verifică condiţiunile 



(27) 9(o) = (p'(o) = x/ e-s9(s)ds 



va fi şi o soluţie a ecuaţiunii integrale (22). 



Avem atunci două cazuri de considerat după semnul lui 2X — i: 

 a) Să luăm mai întâiu 2X — 1=^^^, adică să presupunem : 



-<X<c^. 



2 



Soluţiunea ecuaţiei (25) în acest caz care verifică condiţiunile (27), 

 este, cum arată un calcul uşor, 



(2S) sin uix -[- a cos u. . X ; 



