BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 601 



hj Dacă acum i — 2X=a^, este necesar pentru ca inte^frala (27) 



să existe, ca să avem îJ^<Ci, adică o<CX<C-- In acest caz. soluţiu- 



2 



nea corespunzătoare este : 



(29) sh. u . x-4- u.ch . ax. 



Soluţiunea {2^) este finită oricare ar fi x, pecândsoluţiuno^a (29) 

 devine infinită cu x. Avem deci rezultatul următor: 



Ecuaţiunea integrală {21) are un spectru conţinu de la zero 

 până la infinit. 



Pentru fiecare valoare a lui A situată între zero şi - ecuaţiunea 



omogenă are o soluţie care devine infinită cu x: între - şi 4- co, 



2 



ecuaţiunea omog-enă are o soluţie şi una singură, finită în tot in- 

 tervalul de la zero până la infinitul pozitiv. 



1 5 . Observaţia d-lui E. Picard ^ ). Trecem acum la ecuaţiunea (21) 

 cu al doilea membru. Orice soluţie a ecuaţiei integrale (21) verifică 

 ecuaţia diferenţială (24) şi reciproc, orice soluţie a ecuaţiei ( 24) 

 care, în afară de aceasta, verifică condiţiile (26) va fi o soluţie a 

 ecuaţiei integrale (21). Condiţiile (27) pot încă să se scrie : 



(30) qp'(o) — f'(o) := 0(0) — f(o) =^ kj°^ e~^^{s)ds. 



Vom arăta, după d-nul Picard. că în acest caz, natura analitică 

 a ecuaţiunii integrale (21), nu mai este aşa simplă ca în cazul re- 

 gulat şi că ea depinde de al doilea membru. Să luăm pentru 



aceasta mai întâi : 



00 



fW — ^Ansinnx 



n=l 



00 



constantele A,, fiind astfel că seria V]n'^A,i să fie convergentă. 

 Punând şi 



?w=i; 



a,, sin .nx 



') 1". Picard. Sur iiue equatiou integrale singu i^re. (Comiites Reiuliis, Jaiivier 1911, 

 Tome 152). 



A se vedeit ^i ; Sur un exemple simple d'une equatioii singulii^re lic Freclholm. (Ann, Ue 

 ri'cole Normale Snp^rieure, Juillet 191 1). 



