BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



considerată de d-1 Volterra. oferâ un câmp de cercetări noui 

 şi prezintă un interes analitic special, atât prin eleganţa metodei, 

 cât şi prin aplicaţiunile posibile în studiul fenomenelor neanalitice. 

 Ne vom mărgini a da aici şi numai indicaţiuni generale. 



ECUATIUNI NELINEARE 



i8. Ecuaţiunea lui Volterra. Să luăm (^cuaţiunea lui Volterra 

 nelineară : 



(32) 9(x)-f- ^'F[x,s,9(s)]ds = f(x) 



vom face ipotezele generale următoare : 



i^^ Funcţ-iunea F(x, y, z) este o funcţiune perfect determinată <C m. 

 în domeniu | x | şi [ )• | <C a, | z | <C b, şi verifică în raport cu 

 z, în acest domeniu, condiţiunea lui Lipschitz : 



I F<^,y,zi) — F(xy2-2) I <a I Zi— z. ! 

 2*^* Funcţiunea \'(x) se anulează pentru x = o; fie | x | << a' in- 

 tervalul unde avem | f(x) | << b. Ea verifică şi condiţialui Lip- 

 schitz : 



I f(x)-f(y) I <k| x-y I 



In aceste condiţiunî, se poate obţine o soluţie a lui (32), cu aju- 

 torul metodei aproximaţiilor succesive, luând : 



Şo(x)=:f(x) 



şi ca ecuaţie generală de recurenţă : 



i:>5) ?.i(>) f /^^^F[x,s.9n_i(s)]ds = f(x) 



A doua aproximaţie este dată prin relaţiunea : 



9i(x) = f(x) —fjF [x,sf(s)] ds 



şi în intervalul | x [ <iA'j avem în virtutea ipotezelor precedente : 

 I ?i(x) I <(K + m)x 

 Pentru ca să avem : 



I ?.(xl I <b 

 e de ajuns ca : 



