BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 607 



2*' Se poate înlătura condiţiunea f(o)=o, atâta timp cât f(o )=:l<;b; 

 în acest caz se va lua ca primă aproximaţie. 



cpo(x)=:f(x) — f(o) 



,.,.,.* b . b-1 ') 



Şl va trebui să mlocuim — — -r prin — -7 

 ^ m-|-k ^ m-j-k 



19. Ecuaţiunea lui Fredholm. 



Să considerăm ecuaţiunea lui Fredholm nelineară. 



(34) 9 [ (X) + •kfyix, s, 9(s) ] ds = f(x) 



în ipoteze analoage cu acelea din numărul precedent. Vom pre- 

 supune : 



i*^ Funcţiunea F(x,y, z) perfect determinată şi <lm dacă x şi y 

 au valori oarecare în intervalul (ab) şi z<Cp. Ea verifică încă con- 

 diţiunea lui Lipschitz în raport la z. 



2^ Modulul maxim al funcţiunii f(x)<:Cp, în intervalul (ab). 



In aceste condiţiuni, se poate aplica exact aceeaş metodă a apro- 

 ximaţiilor succesive ; dacă 



p~f 



X< 



m(b — a) 



raţionamentul precedent ne arată că toate aproximaţiile vor avea 

 un sens bine determinat. Vom avea, apoi: 



I ?„(x) — 9„-i(x) I <m . Xnk"(b— a)" 



şi, prin urmare, dacă 



X<r 



k/l— a) 



seria aproximaţiilor {t,j') va converq-e de sig-ur către o funcţiune 

 care va fi soluţiunea căutată. 



Avem, deci, acest rezultat : 



Dacă X este suficient de mic, ecuaţiunea (34) are o soluţiune şi 

 una singură. 



1) Pentru sistemele de ecuaţiimi neliiieare a se vedea : 



E. COTTON. Kq. dilf^rentielles et ^q. int6grales (Biill. Soc. M. de France, 1910, pag. 41) şi 

 memoriile d-lui E. Picone (Rendiconti di C ircolo math. di Palenno, 1910, 1911). 



