BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢe 



admite soluţiuni diferite de zero sau nu. In al doilea caz, aplicând 

 prima teoremă a lui Fredholm la ecuaţiunea (37), scrisă sub forma : 



(39) 9(x) + jN(xs)9(s)ds == F(x) 



, se obţine o ecuaţiune exact de forma (35) !?i cădem astfel peste 

 cazul precedent. 



Luăm acum primul caz şi presupunem mai întâiu că ecuaţia (38) 

 nu admite decât o singură soluţiune 9i(x). In acest caz soluţiunea 

 lui (39) va fi : 



(40) 9(x) = F(x)— / J^^YKs)F(s)ds -f a9,(x) 



unde a înseamnă o constantă arbitrară, cu condiţie insă ca să 

 avem : 



(41) / F(s)9|(s)ds=: o 



Eliminarea lui o(x) între ecuaţiile (40) şi (41) este posibilă, pen- 

 tru că ecuaţia (40) este de tip regulat; obţinem astfel o ecuaţie 

 analitică în a ; numărul soluţiilor lui (40) depind, deci, esenţial de 

 natura acestei ecuaţiuni. Acest rezultat este în întregime echivalent 

 cu acel al d-lui H. Schmidt, care numeşte ecuaţiunea în o, ecua- 

 ţiunea de rafnificafie ^). Metoda precedentă se întinde evident 

 fără nici o dificultate la cazul general. 



ECUAŢIUiNl DE ORDIN ITERATIF SUPERIOR 



20. Funcţiuni permutabile. Proprietăţi. 



Două funcţiuni A(xy) şi B(xy) sunt permutabile în intervalul xy-), 

 dacă avem : 



/ 'A(xs) B(sy)ds = pB(xs) Afsy)ds. 



Expresiunea A.B=:BA va fi numită produsul compus al lui 

 A .yi B. Se pot stabili proprietăţile următoare : 



a' O funcţiune este totdeauna permutabilă cu ea însăşi. 

 Această proprietate este evidentă. 



<) A se vedea şi Pml I.kvv : Sur Ies equations intcgiales rmn lineaires. (Coinptcs Reiuiit 

 Aviil 1910). ^i (;. Br\ti-: Sur Ies enua';ions intcgrales nori lineaires. (Comptes Renchis. Avril 

 1910). 



«) Periniital)ile de prima ypecie diipii d-l Volterra. 



3 



