GIO BULEIINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



Expresiunea 



/ ■ A(xs) A(sy)ds == A._,(xy) 



va fi pătratul compus al Ini A(xyj sau a doua put(*re iterată; 



b) însemnăm prin putere iterată de gradul n, rxpresiunea dt-- 

 finită prin relaţiunea de recurenţă : 



An(xy)= |-Ai(xs) A„ i(sy)ds. 



Avem : 



Două puteri iterate ale unei funcţiuni A(xy) de grade m şi 

 u, sunt permutabile între ele şi produsul lor compus este egal 

 cu puterea iterată m-f-n a funcţiunii A(xy). 



Pentru a stabili această propoziţian^, e deajuns, după un alo^o- 

 ritm bine cunoscut, de a considera cazul n = /, n .^== 2, adică de a 

 stabili relaţiunea 



/ ^Ai(xs) A._,(sy ) ds — / ^^.2(xs) A,(sy) ds. 



Ori avem : 



j ■ Aj(xs) A.(sy) ds -= \ ' A,(xs)/ • A,(st) A,(ty) dt = 



^i ■ A,(ty)^ ^\,(xs)A^(st)ds == / \\,(xt)A,(ty)dt. 



Acest rezultat a fost obţinut aplicând numai formula lui Dirichlet. 

 Avem, deci, in [general 



A„H-n(xy) = / ' A,„(xs)A„(sv)ds 



c) Două sume de-funcţinni permutabile sunt de asemenea 

 permutabile, şi produsul lor compus se obţine după regula 

 distributivă a îmulţirii ordinare. 



In adevăr, fie : A(xy), H(xy), Qxy), D(xy), patru funcţiuni per- 

 mutabile între ele, şi însemnăm : 



P(xy)==A(xy)+B(xy) 

 Q(xy)=i::Qxy) + D(xy). 



