nULETINUL SOCIETĂŢII IlOMÂNE DE ŞTIINŢE 611 



Avem : 



y'p(xs)0(sy)ds =:j ' [ A(xs) -f B(xs) | [ C(sy) + Dl s A) ] da 



= AC4 AD + BC + BD. 

 l^^uncţîunilt* P şi Q sunt deci şi ele permutabile. 



21. Corp integral. Teoremă fundamentală. Proprietăţile pre- 

 cedente pot să fie concentrate şi prezentate sub forma următoare : 

 Fie A(xy). B( xy) . . . L(xy) un număr finit «, de funcţiuni permu- 

 tabile în intervalul xy, şi definite într'un interval real a, b. Să 

 le aplicăm un număr finit de ori şi într'o ordine arbitrară opera- 

 ţiunile de adunare algebrică, şi de înmulţire compusă. 



Totalitatea funcţiunilor astfel obţinute .formează un corp K. 



Considerăm de asemenea corpul k, a polinoamelor întregi de 

 n variabile a, ^, . . X cu coificienţi numerici oarecari. Se poate 

 stabili o corespondenţă biunivocă intre corpurile K şi k; în adevăr, 

 e deajuns de a face să corespundă fiecărei funcţiuni din baza corpu- 

 lui K, o variabilă a corpului k, înniulţirii compuse în K, înmulţirea 

 ordinară în k, iar operaţiunea adunării să corespundă cu ea însăşi. 



Să lăroim acum corpul k introducând şi seriile întregi de varia- 

 l)ilele a. p, . . A, nule în punctul a— ji=vr= . . = X=o. Prin cores- 

 pondenţa precedentă, se va obţine în corpul K, deâsemenea nişte 

 serii de funcţiuni permutabile. Or, în virtutea ineo^alităţii evidente : 

 p/x — v)" 



Pn(Xy) ^-A__1L I p(xy ) I -< P 



rezultă că seriile astfel obţinnte în K, vor i\ toate, regulat conver- 

 gente, în tot intervalul a b. 



Este evident acum că aceste serii se- bucură de asemenea de 

 proprietăţile a, b. c şi, prin urmare, ele pot intra în corpul K. Cor- 

 *pul astfel obţinut poate fi numit corp integral întreg al funcţiu- 

 nilor de bază. A(xy), B(xy), . . . L(xy). 



Să considerăm acum o relaţiune oarecare analitică : 

 f(a, [i, ..'K) = o [f(o, o . . o) 3= o] 

 rezolubilă cu ajutorul funcţiunii analitice regulate : 

 a :^9(fJ, Ţ.. A) [9(0, o. .o) — o] 

 Putem să conchidem în virtutea corespondenţei stabilite între 

 corpurile K şi k, că ecuaţiunea integrală : 

 f(A, B..L):=.0 



