BULETLNUL SOCIETĂŢII DE SGIINŢE 89 



Cette fonction de Green possMe deux proprietes importantes : 

 i) EUe reste toujours negative, quel que soit l'intervalle a b et 



Ia valeur du parametre ^ ; 



2) En notant par G'(x,^) la fonction de Green relative â un in- 



tervalle a' b' situe â l'interieur de a b on a 



(3) G(x,$)<G'(x,5) (^;|||b-) 



La premiere propriete se demontre facilement en observant 

 que la fonction ne peut s'annuler dans l'intervalle donne. Autre- 

 ment â cause des conditions en a et b la courbe G:=o devrait pre- 

 senter au moins 3 points d'inflexion, ce qui est impossible 



dx2 2B(x) ' 2(aY— p-)B(x) 



ne pouvant pas s'anniiler dans l'intervalle a b plus que deux fois. 

 La fonction G restant toujours du mame cote de l'axe des x, mame 

 en faisant varier B(x), a, b et ^, on constate qu'elle est neg-ative en 

 la calculant pour des valeurs particuliere^ par exemple pour B(x)= i , 

 a=o, b=i, x=^. 



D'une maniere analogue on demontre la seconde propriete. 

 Supposons que l'inegalite (3) n'est pas remplie, c'est-â-dire Ies 

 courbes G(x,^) et G'(x,^) se coupent. En prenant a' et b' respecti- 

 vement assez rapproches de a et de b on trouve, dans cette hy- 

 pothese, pour la courbe G(x,^) — G'(x,$) Ies proprietes suivantes : 



aj Elle s^annule au moins deux fois ; 



bj Elle satisfait aux conditions : 



G(a',i)-G'(a',^)<o; G(b',^)-G'(b',$)<o 



[ 



d(G-G') 1 f cKG-G QI 



x=a' x=b' 



Une telle courbe doit avoir au moins deux points d'inflexion, 

 chose impossible pour notre fonction de Green. En effet en d^si- 



