256 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



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et l'equation plus generale') 

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Tout recemment, la th^orie des equations integrales de M. 

 Fredholm a offert un nouveau moyen de rechercher des solutions 

 satisfaisant a des conditions aux limites. Dans cet ordre d^idees, 

 c'est a M. Hilbert^) que l'on doit des methodes g-enerales pour 

 r^tude des equations diff(£rentielles ; equations auxquelles ii fait cor- 

 respondre des equations integrales d'un mame type dont Tetude 

 approfondie a 6te faite par lui-m^me. 



Relativement aux equations aux d^riv^es partielles, M. Picard ^) 

 a indique pour l'equation â deux variables ind^pendantes 



(2) A(u) = XA(x,y)u 



un probleme analogue â celui mentionn^ pour Tequatîon (i). II 

 s'agit d'un genre de solutions doublement perîodiques, ayant une 

 periode par rapport a x et une autre par rapport â y. M. Mason '^) 

 a fait r^tude de cette ^quation (2) â l'aide de l'equation integrale 

 de M. Fredholm. 



Je m'occuperai, dans ce travail, des equations differentielles d'un 

 ordre superieur au deuxieme, et j'etudierai specialement Ies solu- 

 tions periodiques des Equations de 4'"'^ ordre 



^ /„ dV 

 d^ 

 et 



A(B(x,y)A(u)) = XA(x,y)u 

 en employant dans ce but Ies methodes de M. Hilbert. 



II 



Dans son deuxieme memoire relatif aux equations integrales, 

 M, Hilbert se propose, parmi d'autres questions, d'obtenir la solu- 



r2(B(x)^j = XA(x)u 



*) Ann. de l'ecole norm. sup (1905), 



*) Nachrichten der K. Gesell. der. Wissenschaften zu Gottingen i'e. 2te, 3te, ^te und fte 

 Mitteiking (1904 — 1906). 



^) BuU. Soc. math. de France, t. 28 (1906). 

 *) Journal de Lioaville, serie 5, t. 10. 



