BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 257 



tion periodique f(x) de Tequation 



d2f 

 ■ (3) ^ + ?(x) = o 



ou ©(x) represente une fonction periodique donnee. 



Si l'on prend la periode egale â i, ce qu'on peut faire toujours 

 sans restreindre la g-eneralite du probleme, f(x) doit satisfaire aux 

 conditions aux limites siiivantes : 



f(o) = f(l) 



(4) r ^fW ] = r dfw i 



L dx Jx=o '- dx Jx=i 



Pour obtenir la solution cherchee, M. Hilbert construit ce qu'il 

 appelle la fonction de Green generalisee g(x,^) (im erweiterten 

 Sinne) relative â l'equation 



d^u 



et aux conditions aux limites (4). Cette fonction de Green est la 

 suivante : 



(5) g(x, 5) = - i I X - M + |(x - Sy^ + 5^ 



Celle-ci, une fois connue, on prouve que la solution perio- 

 dique f (x) de l'equation (3) est donnee par la formule 



(6) f(x) = r g{x,f) o[^)ăi 



./o 



Ce resultat peut nous servir â chercher Ies solutions periodi- 

 ques de Tequation de 4*^"^^ ordre 



(^) d^l'^'-^^&l + ^w^^ 



011 B(x) et 9(x) representent des fonctions periodiques ayant la 

 periode 6gale â un et qui ne s'annulent jamais. 

 Pour cela, en introduisant la fonction 



v(x) = B(x) ^ 

 dx" 



pn peut remplacer l'equation (7) par le systeme suivant de deux 



