260 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



de (15) une aiitre equation integrale 



( 1 6) y(x) =. X j^ G(x,^)l/A(x)l/Ă[fy y©d^ 



ou la fonction qui multiplie l'inconnue y (^) sous le sig-ne / est syme- 

 triqiie par rapport â x et â ^. On sait alors que l'equation ( 1 6) (par 

 consequent (15) et aussi l'equation differentielle (14)) n'admet pas 

 en general de solution differente de zero. II n'y a d'exception que 

 pour une serie de valeurs remarquables de X 



(17) ^n ^21 ^37 



bien determinees auxquelles correspondent respectivement des so- 

 lutions periodiques differentes de zero. Soit 



(iS) 9 Jx), 92W, ?3W 



ces Solutions remarquables de l'equation (15) ou (14). Ces solutions, 

 sont en nombre infini. Pour cela ii faut prouver, d'apres M. Hil- 

 bert, que la fonction G (k, E) A (^) de (15) est construite de telle 

 fagon que l'equation 



(19) 0= r G(x,^) A(^) g(^) d^ 



< ' o 



n'est jamais verifiee par une fonction continue g (E) differente 

 de zero. 



En effet, si l'on avait Tequation (19) alors l'equation (10) devrait 

 etre verifiee par u (x) :^ o et © (^) different de zero, chose impos- 

 sible â cause de (7). 



Nous allons montrer maintenant qu3 chaque fonction periodique 

 qui est continue et qui a ses quatre premieres derivees continues, 

 peut etre representee par une s6rie infmie 



^1 ?i (^) + ^2 92 (x) 4- . . • . 

 ou Ies 9 sont Ies fonctions (18), solutions remarquables de l'equation 

 (14). En effet, ii estpossible') de developper en une s^rie procedant 

 d'apres Ies fonctions (18), toute fonction f(x) qui peut etre rfepre- 

 sentee par la formule 



f(x) = /"g(x,î) A($) 9(5) d5. 



1) Hilbert 5(0 Mitteilung. 



