BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 261 



Or, Ies formules (io) et (7) montrent que cette repr^sentation 

 de f(x) est toujours possible, sitot que f(x) a ses quatre premieres 

 derivees continues, car î)(x) est donn^ par la formule 



I d2 / d'-f(x)\ 



IV 



Dans un article publie dans le Bulletin de la Societd math^ma- 

 tique de France ^), M. Picard a r^solu le probleme suivant: 

 Etant donn^ l'^quation 



(20) A(u) — u = o 



ou A est le symbole de l'operation 



d2 d2 



dx^ dy'-^, 



chercher la solution y qui satisfait aux conditions suivantes : 



i) EUe a une p^riode a par rapport â x et une p^riode b par 

 rapport â y. 



2) EUe est continue ainsi que ses derivees partout, excepte dans 

 le point ^,-r) et ses homologues ^ -j- ma, r] -}- n b. Dans le point E,t], 

 cette solution devient infinie de la maniere log-arithmique, de sorte 

 que, dans le voisinage de ce point, elle prend la forme 



(21) Ti (x^y; ^.■^) lo^ " + T2(x,y ; ^i^) 



r 

 ou Yi et Y2 representent des fonctions continues et on a 



p = l/(x-^)2 + (y-Yi)2 



Cette fonction est nommee fonction de Green, elle existe tou- 

 jours et sa formule a ete donnee par M. Picard ; nous la d^signe- 

 rons par y (x,y ; ^{']) ou toute simplement par y (x,y) . Ce genre 

 de double periodicite que y possede, peut etre determine par cela 



dY 

 meme que y et -,— prennent des valeurs egales sur Ies cotes opposes 



1) T. 28, (1900.) 



