'2^^2 BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 



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 du rectangledesperiodes j^ est la derivee dans la direction nor- 

 male auK cotes du rectang-le. 



Les Solutions doublement perlodiques partout continues de l'e- 

 quation 



(22) A(u) — XA(x,y)u=:o 



ont ete etudiees par M. Mason et par M. I lilbert dans uii cas plus 

 general. EUes existent seulement pour une serie infinie de valeurs 

 remarquables 



(23) ^l,^2^^3. 



du parametre X, valeurs toutes negatives. 



Avânt d'aborder une question analogue relative a une equation 

 d ordre superieur, montrons comment on peut determiner lafonc- 

 tion de Green g(x, y; x', y') relative â Tequation (22) 011 A (x, y) 

 represente une fonction continue ayant la periode a par rapport 

 a X, la periode b par rapport a y et qui reste partout positive. 

 Cette fonction de Green sera une solution de l'equation (22) qui 

 satisfait aux memes conditions i) et 2) que la fonction prece- 

 dente 7. 



Considerons dans ce but l'equation 



(24) ^(u)- AA(x,y)u-(i -XA(x,y))Y(x,y; x', y') 



ou Y est la fonction de Green dont nous avons parle. La solution 

 U, doublement periodique et partout continue, de cette equation 

 peut etre donnee par ime equation integrale. En effet, on peut 

 mettre (24) sous la forme 



A(u) - u + ( I — X A(x. y))u — ( I — X A (X, y)) y :^ o 



En observant que l'expression A (u) — u est adjointe a elle- 

 meme et que la fonction de Green qui correspond est y, on ob- 

 tient, comme on le sait, l'equation integrale suivante a laquelle sa- 

 tisfait U. 



(25) U(x, y) = -^ f^ I " Y(x, y : ^, ri)( i - X A (^, r.)) U(^-^) d^^d-r) 



'^ '^t o t o 



-Ux,y) 



