BULETINUL SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE 265 



Parce que le premier membre de cette equation est une ex- 

 pression adjointe a elle-meme dont la fonction de Green est 

 g(x, y ; ^{r\), on a, comme on le sait, 



(32) u(x,y) = -- j^ J^ ^^^ d^d,. 



II est facile de voir qae cette solution u(x,y) est la fonction de 

 Green cherchee, c'est â dire que l'on a 



u(x,y) = r(x,y;x'y'). 



En effet, 



1 ) EUe satisfait aux conditions de periodicite, car g(x, y ; ^,t,) 

 meme y satisfait. 



2) EUe satisfait aussi aux conditions de continuite. V et ses de- 

 rivees de premier ordre sont partout continues comme (32) le 

 montre. Les autres derivees sont aussi partout CDntinues, excepte 

 dans le point x'.y'. Dans ce point, on a d'apres (31) 



^ y(x,y;xV) _ k-F 

 ^^^^^- B(x,yj B(x,y)' 



expression qui, d'apres la propriete (21) de y et la propriete de 

 continuite de F, est de la forme (2^). 



En resume, la fonction de Green relative a l'equation (26) existe 

 en general pour chaque valeur de k^ et elle est unique, comme le 

 procede employe pour la trouver le montre. 11 n'y a d'exception 

 que pour un nombre infmi de valeurs remarquables reelles et po- 

 sitives de k'^. 



VI 



Nous allons nous servir du resultat precedent pour determiner 

 la fonction de Green relative â l'equation plus generale 



(33) A(B(x,y)^(u))+A(x,y)u = o 



OLi A(x,y) represente une fonction doublementperiodique continue 

 et partout positive. Cette fonction de Green, que nous d^signe- 

 rons par G(x,y ; ^,y]), est une solution de l'equation (33) qui satis- 

 fait aux memes conditions que la fonction de Green precedente 

 relative a l'equation (26). 



