268 RULEl'INUL SOCIETĂŢII DE STIINEŢ 



Avânt de passer â la resolut'on du probleme, nous ctablirons 

 qiielques formules qui nous seront utiles par la suite. 



Partons a cet effet de la formule de Green tres connue. En de- 

 sig"nant par u, u' et v des fonctions continues, ainsi que leurs deri- 

 vf^es, a l'interieur d'un contour c, cette formule de Green est: 



(34) I I u'A(u)dx dy - j j ^i -^(u'j dx dy =. 



r du' /• du, 



i u j ds — / u'jds. 

 c'(c) an . ' (c) an 



. , du , . 



la derivee , etant prise dans le sens de la normale int^rieure â 

 dn ^ 



la courbe (c). Remplagons dans cette formule u' par B(x,y)Av. On 



a alors ; 



(35) /' /'l^ix.y) ^(u) J^(v) dx dy = f fu a(B(x//) A(u)) dx dy 



r d(B(x,y) Siv)) -• du , 



4- u 1 ds - B(x,y) :^(v) , ds 



Le premier membre de cette equation reste invariable par le 

 changement des fonctions u et v. La meme chose doit avoir lieu 

 pour le second membre et on a alors 



j;/\a(B(x,y).(v))dxdy + ^/;,^^Md. 



- /^^ B(x,y) A(v) ^^ ds = fi vS (B(x.y) A(u)) dx dy 

 di3(x,y A(u) r , dv 



+ V -~i~-^' ds- / B(x,y)A(u) , d^ 

 .'(O dn .'(.") ^ ^dn 



ou 



(36) f /*jujj.(B(x,y) A(v))-o(.x',y) vj-vrA([](x,y) A(u))-9(x,y)uj}dx dy 



r dH(x,y) r ] , 



= / -, V A(u) — u A(v) ds 



.'(.•) dn I ^ ^ 



i' r d A(u) d AfvV /' r dv dul , 



+ B(x.y v--~ — u , ds— B(x,y) A(u), — A(v) , ds 

 ' .(.■,) ^ \ dn dn J .'(,, ^ '^1 dn "^ MnJ 



ou © repr^sente une fonction quelconque. 



