lîULETINUl. SOCIETĂŢII DE ŞTIINŢE Ml 



Une de ces formiiles noiis serviră â demontrer que requation 

 {t^t,) ne peut avoir de solution doublement periodique diff^rente 

 de z6ro. 



Introduisons â la place du contour arbitraire c le rectang^le des 



periodes; faisons dans la formule (35) u=:v et mettons â la place 



de u une solution doiiblement periodique de (33). A cause de la 



du d^(u) 



double periodicite u, . , ^(u) et , regoivent sur Ies c6t6s op- 



poses du rectangle Ies memes valeurs, et par cela Ies int^o-rales 

 simples disparaissent. II reste alors, en tenant compte de (33) 



j j'B(x,y) (i(u)) '^ dx dy + Jf AiK,y)u'- d^ dy 



A(x,y) et B(x,y) etant positives, l'equation n'est satisfaite que par 

 u identiquement nul; ce que nous voulions demontrer. 



Revenons maintenent a la fonction de Green. Cherchons â cet 

 effet la solution doublement periodique continue de l'equation 



^-^^^^^^ +A(x,y))r(x,y;x',y')-o 



ou r(x,y:x'y') represente la fonction de Green connue de Tequation 



(38) A (B(x.y) i(i.)) j3^,^^y^ u = o 



et h represente une constante reelle. L'equation (37) peut ^tre 

 ecrite sous la forme 



(39) A (B(x,y) AM) -j3(^y) " + {^^^ + A(x.y)) u 



- (B(x,y) + ^"-y )i'('<,y;x',y')=o 



Considerons la formule (36) et prenons comme domaine d'inte- 



gration le rectang-le des periodes duquel nons avons exclu un petit 



cercle ayant pour centre ^, y) Mettons dans cette formule, â la 



hV 

 place de i'(x, y) la fonction — :^^, ^ ensuite r(x, y ; ^, y)) â la place 



de V, et la solution u(x, y) de (39) â la place de u. Si nous tenons 

 compte de (38), (39), des conditions aux limites et de la discon- 



