LES ÉLÉMENTS DE l'oRBITE DES ASTRES. 31 



Si l'on suppose le rayon de la sphère égal à l'unité, et si l'on imagine une pyra- 

 mide triangulaire dont les quatre sommets soient le centre de la sphère et les 

 trois points M, N et P, on reconnaît que le second membre de cette équation 

 exprime six fois la solidité de cette pyramide. En effet, si l'on prend pour base 

 le triangle MNC, C étant le centre de la sphère, sin MN sera le double de la 

 surface de celle base , et sin NP sin NMP exprimera la hauteur de la py- 

 ramide. 



Convenons de représenter cette expression par (MNP), en sorte que : 



(39) (mP)=^cosli cos li' cosfi" {tg(ism{cî'—»')+tg fi'sin{ct— c(.")+lg(i" sm{a,'— a.)] 



On voit facilement que cette fonction conserve la même valeur et le même signe, 

 lorsqu'en permutant les sommets M, N, P on conserve leur ordre de succession, et 

 qu'elle change de signe en conservant sa valeur absolue, lorsqu'on intervertit cet 

 ordre, de sorte que l'on a : 



(MNP) = (NPM) = (PMN) =. — (PNM.)=— (NMPJ = — (MPN). 



Ces relations deviennent évidentes en développant chacune des expressions au 

 moyen de l'équation (39). On voit de plus que la fonction se réduit à , si deux 

 des trois lieux coïncident, ou plus généralement si les trois lieux MNP sont sur le 

 même grand cercle, car alors l'on a sin MNP=0. 



15. Cela posé, multiplions les trois équations (38) respectivement par : 



sin/3' cos/Ssina — sin |S cos /3' sin «' ; sin/3cos/3' cos*' — sin;S'cos/3cos<*: 



cos jS cos jQ' sin {a,' — a,) 



et ajoutons les trois résultats ; nous aurons, en désignant par C°, C, C' les trois 

 lieux géocentriques de l'astre et par T", T, T' les trois lieux héliocentriques 

 de la terre (fig. 3) : 



(40) m»p' (MNC)-t-m'p''(MC'')-(l— e),o (MNO-t-m" R'(MNT')-t-m' R° (iMNT°)-(l -e) R (MNT)=0 



Les lieux MN étant arbitraires, nous en disposerons pour faire disparaître 

 quelques-uns des termes de cette équation. En faisant successivement : 



