4 G. OLTRAMARE. MÉMOIRE 



nière fonction sous le nom de fonction inverse de la fonction proposée , et nous 

 représenterons constamment une fonction inverse en primant en bas le caractéris- 

 tique de la fonction. 



Si l'équation (1) n'admet qu'une racine; à la fonction proposée (t>[z), il ne ré- 

 pondra qu'une seule fonction inverse, mais si l'équation (1) admet plusieurs ra- 

 cines , à chacune des racines répondra une fonction inverse, et nous aurons 

 autant de fonctions inverses que cette équation admettra de racines. 



Si cp(z) est une fonction multiforme de z, c'est-à-dire si à chaque valeur de 

 z répondent plusieurs valeurs de la fonction (p{z), nous pourrons considérer 

 deux genres de fonctions inverses répondant à cette même fonction. 



Pour calculer les fonctions inverses de première espèce, nous prendrons l'une 

 quelconque des valeurs des <p[z) , (il est indifférent de prendre l'une plutôt que 

 l'autre) ce sera une fonction uniforme, nous en calculerons, comme nous 

 venons de l'indiquer , la ou les fonctions inverses, et la somme de toutes ces 

 dernières fonctions pourra être écrite comme suit : 



X(pXz)- 

 Supposons, en second lieu, que nous fassions la somme de toutes les valeurs 

 de la fonction multiforme 0(z), somme que nous pourrons représenter par : 



2<P(S). 



Cette fonction nouvelle est une fonction uniforme, nous pourrons, par con- 

 séquent , en calculer la ou les fonctions inverses ; nous obtiendrons ainsi un 

 second genre de fonctions inverses généralement différentes et en nombre 

 différent des premières que nous venons de considérer, et si nous voulons en 

 exprimer la somme, nous pourrons le faire par la notation : 



Nous désignerons ces dernières fonctions sous le nom de fonctions inverses de 



seconde espèce. 



§2. 



Pour démontrer les théorèmes que nous avons en vue, nous rappellerons la 



