A MÉMOIRE 



§ 3. Pour nous rendre compte de cette dernière circonstance, considérons l'unité 

 comme divisée en un certain nombre de parties égales; une quantité quelconque, 

 appartenant à ce second cas, sera évidemment plus grande que le plus grand nombre 

 de ces parties qu'elle contient, et plus petite que ce même nombre, augmenté d'une 

 de ces parties. 



Nous pouvons donc dire qu'en égalant la quantité proposée au nombre le plus 

 grand de ces parties qu'elle contient, nous aurons une quantité plus petite que la 

 quantité donnée ; mais en ajoutant une seule de ces parties, nous aurons une quantité 

 plus grande. Si, en outre, nous faisons attention que les parties, dans lesquelles on 

 suppose l'unité divisée, sont d'autant plus petites que le nombre en est plus grand, 

 la quantité à laquelle nous égalerons la quantité proposée difterei'a d'autant moins de 

 la quantité donnée que nous supposeions l'unité divi.sée en plus de parties; .'si donc 

 nous considérons l'unité comme divisée dans le plus grand nombre de parties possible, 

 la grandeur des parties sera la plus petite quantité possible, et la quantité à laquelle 

 nous égalons la quantité proposée différera de la quantité donnée le moins qu'il lui 

 sera possible, ou, en d'autres termes, lui sera rigoureusement égale. 



Nous voyons ainsi que ce second cas n'est qu'un cas particulier du premier, celui 

 qui exige que, pour pouvoir égaler la quantité proposée à un certain nombre de 

 parties de l'unité, il t'aille diviser l'unité en un nombre infini de parties égales. 



Les quantités qui donnent lieu à ce cas exceptionnel portent le nom de qtumtités 

 irrationndlcs , pai- opposition aux quantités qui, rentrant dans le premier cas, portent 

 celui de quantités rationnelles. Ainsi, par sa nature, une quantité n'est ni rationnelle 

 ni irrationnelle ; elle reçoit cette dénomination selon qu'elle peut ou ne peut pas être 

 exprimée par le mode de représentation dont le calculateur se sert. 



Lorsqu'une quantité n'est pas exprimable sous forme de fraction, elle ne peut 

 en aucune façon être mise sous la forme de-j-- Cependant si l'on remarque qu'en don- 

 nant à 6 et par suite à a tles valeurs de plus en plus grandes, la fraction-^ s'approche 

 indéfiniment de la valeur de la quantité qu'on veut représenter, il en résultera qu'en 

 supposant b et par suite a égaux à l'infini, la quantité irrationnelle proposée sera re- 

 présentée par le rapport de deux quantités infinies; ainsi donc : Vimpossihilité de 



