sijIi lis QL'ANTJTKS infimis. 5 



mrttva une quantité irrationnelle sous la forme ordinaire des fractions se manifestera 

 dans le calcul, en ce que la valeur de la quantité se présentera sous la forme de l'infini 

 divisé par l'infini. 



§ 4. On se contenta longtemps, en arithmétique, des fractions ordinaires puni 

 représenter les quantités dont on avait besoin ; mais en reconnaissant les avantages 

 que présente le calcul décimal, on voulut tout y assujettir. On imagina les fractions 

 décimales, et l'on chercha à représenter les fractions ordinaires sous cette nouvelle 

 forme. On donna des règles pour cette conversion, mais ces règles devaient de toute 

 nécessité être en défaut dans certains cas, puisqu'on limitait les nombres qui pouvaient 

 être employés comme dénominateurs. 



En effet, pour exprimer les quantités par les fractions ordinaires, on est maître du 

 dénominateur, c'est-à-dire qu'on peut diviser l'unité en autant de parties égales que l'on 

 veut; dans le système décimal, on limite cette liberté, et il n'est plus possible de pren.lre 

 pour dénominateur un aufre nombre qu'une puissance de -10. Or, sera-t-il toujours 

 possible, en divisant l'unité en 10, 10\ \0\.. parties, que la quantité qu'on veut 

 représenter contienne un nombre exact de ces parties'? Il était facile de pressentir 

 que non, et de prévoir (pie des quantités qui étaient rationnelles, dans la représentation 

 par les fractions ordinaires, allaient se présenter sous forme irrationnelle dans le 

 nouveau système. Mais, malgré cette impossibilité, on a voulu le faire; on avait établi la 

 règle pour le cas où la conversion d'une fraction ordinaire en fraction décimale pou- 

 vait s'efTectuer, et cette règle on l'a forcée, on a voulu qu'elle fût applicable à tous 

 les cas, on a voulu l'impossible. Qu'eu devait-il résulter? C'est que cette impossibilité 

 devait se manifester d'une manière quelconque, et que la forme du résultat devait 

 l'exprimer. Eu conséquence, il en est ressorti une idée nouvelle, l'idée de l'infini; le 

 nombre des chiffres décimaux s'est trouvé illimité, ou, en d'autres termes, la fraction 

 décimale a été donnée par le quotient de deux quantités infinies. 



Qu'on prenne, par exemple, j qui est une quantité rationnelle exprimée par les 

 fractions ordinaires ; si l'on veut exprimer cette même grandeur par les fractions dé- 

 cimales, on trouvera 



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