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OU, ce qui est la même cliose, le rapport des deux quantités infinies 



3333 



40000 

 Si, d'ailleurs, on remarque que l'on a 



0,3333... =^^ + A, + A,+... 



/ 



l'impossibilité d'exprimer —-en fraction décimale se manifeste par le fait que la con- 

 version donne lieu à une série, dont le nombre des termes est infini. 



§ 5. Toutefois il ne faut pas croire que, si l'on n'eût pas imaginé les fractions 

 décimales, les séries d'un nombre infini de termes ne se fussent pas manifestées au 

 moyen des fractions ordinaires. 



Les fractions ordinaires peuvent bien exprimer, sous forme finie, des quantités 

 pour la représentation desquelles les fractions décimales demandent l'emploi du rap- 

 port de deux quantités infinies ou des séries infinies, mais les fractions ordinaires 

 elles-mêmes sont loin de pouvoir représenter toutes les nuances de la quantité. 



Si nous désignons par a une quantité irrationnelle par rapport au mode de re- 

 ))résentation par les fractions ordinaires, et si néanmoins nous voulons exprimer cette 

 quantité à l'aide de ces fractions, nous allons voir naître une série infinie ou le rap- 

 port de deux quantités infinies. Puisque la quantité a ne peut pas être exprimée au 

 moyen d'une fraction ordinaire, prenons-en deux; mais, que nous combinions ces 

 deux fractions par voie d'addition, de soustraction, de multiplication ou de division, 

 nous pourrons toujours, par les règles connues sur les fractions, les réduire à une 

 seule ; ainsi comme une seule fraction ne peut pas exprimer la quantité proposée, 

 deux fractions ne le peuvent pas davantage. Que nous prenions trois, quatre, mille, 

 im million de fractions, nous pourrons toujours réduire ces fractions à une seule, 'et par 

 suite il sera impossible, aussi longtemps qu'on voudra se contenter d'un nombre limité 

 de fractions, de jamais exprimer exactement la quantité irrationnelle proposée. Mais si 

 nous prenons un nombre infini de fractions, nous ne pourrons plus les réduire à une 

 seule, et par suite il ne sera plus impossible d'exprimer la quantité au moyen des 

 fractions ordinaires. Ce n'est donc que sous cette condition de prendre un nombre 

 illimité de fractions ou une série infinie, que nous pourrons arriver à notre but. Nous 



