SUli LtS QUANTITÉS INFINrtS. 7 



voyons ainsi que lorsque nous voulons exprimer une quantité sous une forme qui ne 

 lui convient pas, cette impossibilité se manifeste sous deux formes différentes, qui, 

 au fond, sont équivalentes : la valeur de la quantité est donnée tantôt par le rapport 

 de deux quantités infinies, tantôt par une série, dont le nombre des termes est in- 

 fini. L'idée de l'infini naît donc, dans l'un comme dans l'autre cas, de ce que l'on veut 

 représenter sous certaines formes par/iculières des quantités qui, par leur nalnre, ne 

 peuvent pas l'être. » 



§ 6. Si l'on divise a par o-x on trouve 



a , . A' . x^ X' 



dont le second membre est une série d'un nombre infini de teimes. 



La considération de cette expression pourrait paraître une objection à ce que 

 nous venons de dire, car le premier membre est une fraction ordinaire lorsque x 

 est plus grand ou plus petit que a, et le second membre une somme de fractions ordi- 

 naires. 



Quelle est donc la cause qui , clans cette circonstance, doinie naissance à une série 

 dont le nombre des termes est infini ? 



Ici, comme dans tous les autres cas, on exécute une opération qui est impossible, 

 car on veut que l'expression-— soit égale à une somme de ternies d'une forme fixe et 



déterminée, à savoir à la somme des diflérentes puissances de —; en d'autres termes, 



u 

 on prétend qu'en réduisant les fractions au même dénominateur, — - puisse être 



p 



égal à une fraction — . Nous nous trouvons dans un cas parfaitement analogue à celui 



où l'on voudrait exprimer une fraction ordinaire au moyen d'une fraction décimale. 



Ainsi donc, l'infini dans le nombre des termes d'une série, petit naître de ce qu'on 



a déterminé la forme des termes, par lesquels on veut représenter la quantité proposée. 



•Il résulte de cette remarque que 



Toute quantité peut être représentée par des expressions, dans lesquelles entre un 

 nombre infini de termes, et cela d'une multitude de manières différentes, en variant la 

 forme des termes par lesquels on désire l'exprimer. 



