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§ 7. L'impossibilité d'exécutor une opération, qui se manifeste par l'apparition 

 d'une série d'un nombre infini de termes, ou par le rapport de deux quantités infinies, 

 se révèle souvent aussi par des formes un peu différentes; mais, au fond, ces nouvelles 

 formes qui contiennent toujours la notion d'infini, sont équivalentes aux premières. 



Supposons, par exemple, qu'on se propose d'exprimer un nombre entier par le 

 produit de plusieurs fractions, de telle sorte que le produit des nominateurs soit pre- 

 mier avec celui des dénominateurs. 



Evidemment cette décomposition est impossible, et si nous voulons tenter de l'effec- 

 tuer, nous verrons naître un nombre infini de facteurs pour représenter la quantité 

 proposée. 



Par exemple, si l'on remarque que l'on a identiq\iement : 



(/. Il -\- X a- 



ii-.r II ar-x^ 



en faisant dans cette relation n = ir et ,*; = x\ on obtiendra : 



«^ (;•' -|- X- ((' 

 a^-x'^ ffl- a'-x' 



on déduira de même de cette formule : 



et ainsi de suite. 



On aiu\i donc identiquement : 



a-x a «^ a' 



relation qui nous montre que lorsqu'on voudra exprimer ^par le produit de facteurs 



delà forme ^^ — on ne le pourra pas. Si, néanmoins, on veut l'elTectuei', le calcul 



II' 

 indiquera cette impossibilité en donnant poui- la valeur de lu quantité un produit, 



dont le nombre des facteurs sera infini. 



Du reste, l'impossibilité de mettre la valeui-^— sous la forme d'une somme de 



fractions, dont les dénominateurs sont les différentes puissances de n, ou sous la forme 



du produit d'iui certain nombre de facteurs de la forme aurait pu se manifester 



a 

 par l'apparition du rapport de deux quantités infinies. 



