SUR LES QUANTITES INFINIES. 9 



En effet, si l'on remarque qu'en désignant par p un nombre entier quelconque, 



on a : 



aP - xP Al'"' •"'^ ■'"'" 



ap-' (a-x) ~^ a '^ (t- ' "t" ar-' 



en supposant jo égal ta l'infini on en déduira : 



On peut de même faire observer que l'on a : 



_a _ « + .C ^ «1+f: a'+a^' _ [(« + a;) (a' + a^) (a' + -r') •■ («"'+ x^V[ ^'^ 

 a-x-~ a * a^ 'a' '" ~ ,p+', p=a, 



r ] 



En résumé, nous pouvons dire que : 



Toutes les fois qu'on voudra représenter une quantité sous une forme déterminée 

 qu'elle ne peut pas affecter , cette impossibilité se manifestera dans le calail par le 

 fait qti'oH trouvera, pour représenter cette quantité, une expression composée, soit d'un 

 nombre infini d'addendes ou de facteurs, soit le rapport de deux quantités infinies, soit 

 encore des formes équivalentes, dans lesquelles apparaîtra constamment la notion de 

 l'infini. 



Réciproquement : 



Si la notion de l'infini entre dans l' expression d'une quantité, c'est une preuve que 

 la quantité a été mise sous une forme qui ne lui convient pas. 



§ 8. Si l'on désigne par n un nombre aussi grand que l'on veut, sans cependant 

 être infini, la fraction— sera une quantité d'autant plus petite que n sera plus grand, 

 et il est facile de voir qu'en répétant cette quantité un nombre de fois exprimé par an, 

 le résultat sera égal à a, ce dernier nombre pouvant être aussi grand que l'on veut. 

 Il résulte de cette observation, qu'en répétant une fraction aussi petite que l'on veut, 

 un nombre infini de fois, le résultat sera plus grand que toute grandeur assignable. 



.Cela posé, nous pouvons remarquer, que l'introduction de cette idée de l'infini 

 dans le nombre des termes d'une série, dont la somme est une quantité fixe, présente 

 tout-à-coup à l'esprit quelque chose de paradoxal. On ne comprend pas comment 

 une somme de quantités, qui peuvent être toutes positives et en nombre infini, peut 



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