10 MÉMOIRE 



ne donner pour somme qu'une quantité finie d'une valeur souvent bien faible; com- 

 ment, par exemple, la somme des quantités 



a fl- 

 prolongées jusqu'à l'infini, est égale à—comme cela résulte de la division de a par a-x. 

 Nous pourrons facilement nous rendre compte de cette circonstance, si nous fai- 

 sons observer qu'une quantité finie peut, quelle que soit sa grandeur, être formée par 

 l'addition d'une fraction de cette quantité, plus du reste qu'on obtient, en retranchant 

 de cette quantité cette même fraction; en d'autres termes, si nous remarquons qu'on 

 a identiquement 



ff = <? « 4- (1 - '■') (^ 

 a désignant une quantité finie, et v une fraction plus petite que l'unité. 

 Si l'on pose, pour abréger, 



(1 - ?) ff = fl' 

 a' sera une quantité finie plus petite que a, et nous pourrons faire sur a' le même 

 raisonnement que sur a. 



Si donc nous désignons par ?, v', v", ¥'",... une suite de fractions, nous aurons 

 (4 -",-)« = a' = V' a' -\- (1 - ? ) a' 

 ^1 - f) a' = a" =: V ■ a" + (1 - Y') a" 

 (i -?••) a" =a"' =^ V a"' -j- (1 -?'") «'" 



Si l'on admet que la série des fractions v, v', ?", v'",... sont toutes plus petites 

 que l'unité, aucun des restes a', a", a'",... ne sera nul, et par suite la valeur de a 

 sera donnée par une suite infinie de termes qu'on peut écrire :: 

 a = 'i a -\- (1 - ?) ?' a -|- (4 - ?) (4 - ?') ?" « + (4 - ? ) (4 - ?') (4 - ?") <?'" a -f- ■■■ («) 

 Comme chaque terme représente une partie de la quantité a, on s'approchera de plus 

 en plus de cette valeur, à mesure que l'on prendra un plus grand nombre de termes, 

 sans cependant jamais l'atteindre, et il faut concevoir que la série est prolongée à 

 l'infini, pour avoir réellement la valeur du premier membre. 



Si l'une des fractions de la suite ?, ?', f', "?",... était égale à l'unité, par exemple 

 ?^"' , cela signifierait que l'on prend le reste en entiei-; par suite, la valeur de af-"'^'' serait 



