SUR LES QUANTITÉS INFINIKS. 13 



de l'infini, introduite dans les séries, n'a pas toujours suffisamment préoccupé ceux 

 qui ont fait usage de ce nouveau genre de formules. Souvent, en laissant cette idée de 

 côté, on a appliqué aux séries infinies les mêmes propriétés qu'on avait reconnues être 

 vraies pour les formules ordinaires, et il en est résulté de véritables erreurs dans les 

 résultats qu'on a obtenus. 



Pour faciliter l'exposition de ce que nous avons à dire sur cette matière, nous pren- 

 drons la formule précédente ; nous prévenons seulement le lecteur que les considéra- 

 tions, dans lesquelles nous allons entrer, sont applicables à tous les cas. 



Considérons la série infinie 



dont la limite est — . 



a-x 



Si nous donnons à a une valeur quelconque plus grande que .r, et si nous calculons 



la valeur de la série en nous arrêtant à un terme de rang n, nous trouverons pour la 



a 

 somme une certaine valeur S„ <-^, qui différera de S aussi peu qu'on le voudra en 



prenant n suffisamment grand (Voyez § 9). 



Qu'on nous demande maintenant la valeur de la série à une fraction près marquée 

 par — ; il suffira, pour avoir la valeur de la série, au degré d'approximation demandé, 

 de tenir compte d'un nombre de termes d'autant plus considérable que nous attri- 

 buerons à - une valeur plus petite se rapprochant de l'unité; de sorte que, lorsqu'on 

 supposerait a = x, il faudrait prendre un nombre infini ou tous les termes de la série 

 pour en avoir la valeur au degré d'approximation demandé, quel que fût ce degré; 

 seulement, pour une approximation plus ou moins grande, il faudrait plus ou moins 

 de termes pour une même valeur de a. 



Mais si, continuant de prendre pour a des valeurs de plus en plus petites, nous 

 faisons a < x, qu'en résultera-t-il? — Puisque, pour fl=;i', le nombre de termes qu'il 

 faut prendre pour avoir la valeur de S= —, est un nombre infini de termes; pour 

 une valeur a < x, il faudra prendre un nombre de termes supérieurs à l'infini, afin 

 de retrouver cette même valeur— , qui représente la somme de tous les termes de 



■-X 



