SUR LES QUANTITÉS 1?(FINIES. jg 



Au premier abord, ce rapport semble bien facile à éta- 

 blir, car si l'on désigne par k la surface infinie NMP, qui 

 répond à une unité d'angle qui entre m fois dans AMB et 

 wfois dans BMC, on aura : 



angle AMB m 



angle BMC n 



de plus, comme 



Surface AMB ^= mk 

 Surface BMC = nk 



on aura : 



Surface AMB 



)iik 

 nk 



m angle AMB 



n angle BMC 



M 



Surface BMC 



La même relation existerait dans le cas où les deux angles AMB et BMC seraient 

 incommensurables, en supposant k suffisamment petit. 



Ce résultat, qu'on serait tenté de regarder comme parfaitement rigoureux, ne l'est 

 cependant pas ; il repose sur la considération que l'espace infini compris dans un angle 

 k = NMP, est une quantité toujours la même quel que soit le mode employé pour la 

 -'"1*^ déterminer. Or, il est facile de reconnaître qu'il n'en est 



-J-- ï". généralement pas ainsi, et qu'au contraire, cette quantité 



infinie peut prendre une multitude de valeurs dépendantes 

 p de la manière dont on conçoit qu'elle peut être engendrée. 

 Représentons l'angle NMP par a et prenons sur MP une distance MR égale à x; 

 par le point R menons une droite quelconque RT qui fasse avec RM un angle fixe «, 

 abaissons MQ perpendiculaire sur RT et déterminons la valeur de la surface du triangle 

 MTR; on a pour cela 



RT : a; ^ sin z : sin ('■ + w) 

 MQ = X sin M 



et par suite la valeur du triangle MTR — ■''' ^'" '^ ^""" 



^ f sin (z-f-oj) 



