2g MÉMOIRE 



qu'on peut écrire : 





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On trouve ainsi 





formule que nous pouvons regarder comme rigoureusement exacte. 



Au premier coup d'œil on est tenté de rejeter ce résultat par les raisons suivantes . 



Il est impossible, dira-t-on, puisqu'il n'y a que des nombres entiers ajoutés ou 

 retranchés les uns des autres , que leur somme algébrique puisse être égale à une 

 fraction. 



De plus, il est aisé de voir que si l'on arrête la série à un terme de rang pair, la 

 somme indiquée par le second membre est nulle, et que, si l'on arrête la série à un 

 terme de rang impair, cette somme est égale à 1 : ainsi, dans aucun cas elle ne saurait 



être -. 

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On peut répondre aisément à ces deu.v objections. 



D'abord, lorsqu'on dit que le second membre de cette série ne saurait être frac- 

 tionnaire, puisque tous les termes qui la composent sont des nombres entiers, cela 

 même est une erreur, car cette proposition n'est démontrable et ne peut être admise 

 que dans le cas oîi le nombre des termes est fini. Ici, il entre une idée nouvelle, c'est 

 celle d'un nombre infini de termes; et qui pourra dire, que cette nouvelle notion 

 ne puisse modifier une proposition qui s'applique à un nombre fini de termes? 



N'avons-nous pas reconnu, au contraire, que, lorsqu'on exprime une quantité sous 

 une forme qui ne lui convient pas, cette impossibilité le manifeste par l'introduction 

 d'un nombre infini de termes dans l'expression qui représente cette quantité. 



Quant à la seconde objection que l'on fait valoir, elle n'en est réellement pas une, 

 car, qui dit nombre infini exclut par cela même l'idée de pair et d'impair, l'infini 

 n'étant ni pair ni impair, ou, si l'on veut, étant tous les deux à la fois; ainsi, celte 

 distinction, en nombre pair et impair, sur laquelle se base toute l'objection, ne peut 

 en aucune manière entrer dans le raisonnement. 



§ 19. Nous avons dit que la série 



1-1 + 1-1 +■■■ 



