58 MÉMOIRE 



On trouve ainsi : 



Les séries périodiques peuvent être envisagées sous un autre point de vue ; on peut 

 les regarder comme les limites des séries convergentes qui, pour certaines valeurs 

 attribuées aux quantités qu'elles contiennent, ne présentent plus le caractère de con- 

 vergence, mais prennent la forme d'une suite de termes se présentant dans le même 

 ordre et dont la somme des termes d'une période est égale à 0. 



Si on considère la série 



i — X 4- x^ — x^ +••• 

 qui est convoquente ou divergente, selon que a; < i ou > i, cette série, lorsqu'on 

 feraa; = i, ne présentera plus que le caractère des séries périodiques. 



Pour en avoir la valeur, lorsque a; ;=f, on supposera x < i, et l'on trouvera pour 

 la valeur de cette série 



S- — 



En faisant x^^i dans cette expression, on trouvera qu'à sa limite de convergence 

 la série donne 



valeur qui, comme nous l'avons vu, est parfaitement exacte. 



Il résulte des considérations précédentes que, bien que les séries périodiques consi- 

 dérées isolément aient une valeur indéterminée, elles peuvent néanmoins être employées 

 dans le calcul et donner des résultats parfaitement rigoureux, lorsqu'on connaît le mode 

 de génération de ces séries, c'est-à-dire la manière dont a été engendré le nombre 

 infini, qui indique combien de fois la période est répétée, ainsi que la nature du 

 nombre infini que l'on obtient, en divisant l'unité par la somme des termes d'une 

 période, ou, ce qui revient au même, les séries convergentes dont elles sont les 

 limites. 



Des intégrales, dont les limites sont infimes. 



§ 20. Soit ffxj une fonction continue pour toute la valeur de x, comprise entre 



