8 MÉMOIRE SUR LES NOMBRES OFÉRIEURS 



nécessairement être un nombre entier, et il est manifeste que si nous désignons, comme 

 nous en sommes convenu, par a, le produit des nombres premiers qui entrent dans a, 

 nous pouvons poser en vertu de la relation (4) 



v {a) = a I (a) (5) 



? désignant une l'onction arbitraire que nous allons chercher à déterminer en prenant 

 pour a différentes valeurs. 



Si nous supposons d'aboid a = a nous aurons : 



/- -\u. \^ , , s 'j.^ -3 u. - ii 



-{i'-Y)= r + r + .'i^ + . . + i,-ir- =—^' 



et pai- suite l'équation ("2) nous donnera : 



la fonction aibilraire ? {a,) =^ \ (<.>) sera donc — ç, „ y (y). 



Ainsi donc, en vertu de la formule (3) on obtiendra la relation (1) qui doit être 

 considérée comme démontrée dans le cas où a est un nombre premier ou une puis- 

 sance quelconque d'un nombre premier. 



Si nous supposons en second lieu a -- h p, b représentant le produit de tant de 

 facteurs premiers qu'on voutira différents entr'eux ainsi que du nombre premier o, nous 

 aurons à l'aide des relations Câ) et (3) 



i ( i P ] '' •' J' = Y // r i? -')- ih) + 1 ( // ? ) 

 :(/.!''/ =1 6^? (Al + M (i) 



s(Z,]<'?y = -YZ'^ï(V:) + ?^ (i) 

 comme d'ailleurs il est facile de reconnaître que l'on a 



on obtiendra en effectuant les substitutions 



H' (/y p ) = ? (P - ■') M- ijj) 



et par suite 



