36 NOTE SUR LA FONCTION G,„ . 



g-h-J—''^ g'^ g{9 + /)^ glg+^)(g+2) ^" ^ ' 



Si l'on remarque que le premier membre fie l'égalité (12) peut se mettre sous la 

 forme 



^^=^ + 3T7+(^I7j5 + (P7p+-- +(^I7)-4-- (13) 



nous aurons en égalant les coefficients des puissances ^^''""de h, données par les seconds 

 membres des identités (1S) et (13), la nouvelle relation : 



_±_= i I 'El , ?^' |_. iu\ 



{g-ir g{g^i).-{g^-n-i)^ g(g-[-i){g+i){.g-\-n) ^ g{g^-l)...(g+n-\-i)^ ^'^' 



en représentant par „§„ la somme des différents produits que l'on peut former avec la 



suite naturelle des nombres 



12 3 n 



en prenant m à la fois ; somme qu'il est toujours possible d'obtenir. 



C'est ainsi que : 



_ n{n-\-1) 

 /'"il — /g 



_ n{n-\-2){3n--n-2) 

 i\ — .24 



3\ — Jg 



En faisant de cette dernière formule (ii) fj = '- on a : 



/ l /) iSn 1 p- fSn+t , 



(fîpr ~ g{9+p)---{y+(n-i)p^ "^ yig+p)--(fj+»p) g(g+p)--ig+iii+')p) "^" 

 en admettant que p^^fj — i , on trouve 



~ g{3g-l)--{ng-{n-i)) ''" g(2g-I.... ({n+l)g-ii) '^ g(?g-i)...{(n-r2)g-in + 1)) "T 



Enfin, si nous posons w=:i, nous trouvons : 



, l' {g-1).1 [g-ifl.2 {g- ly 1.2.3 



g'^ 9(êg-1) ^ g(2g-l)(3g-2) "^ g (2g- 1) {3g -2) (4g- 3) ~^ ■" 



-.^ï^c>^'>5iÇs^ 



