SUR LES SÉRIES MIXTOPÉRIODIQUES. *' 



le nombre de ces termes étant fini ou infini selon que la première somme est elle- 

 même composée d'un nombre fini ou infini de termes, la quantité N étant d'ailleurs 

 une quantité finie non soumise à la loi générale de formation des termes. 



Cela posé, pouvons-nous conclure sans crainte d'erreur à l'identité 

 S = iV + M' (i) + M- (i + A"') -1- . . . +H in-K') -h M- in) -f m' (n -f A'') -j- . - • (2^ 



Si le nombre des termes qui entrent dans l'identité ('1) est limité, le nombre des 

 transformations par lesquelles on passe d'une identité à l'autre sera également limité, 

 et, sans aucun doute, l'idenlité (2) subsistera, puisque son second membre n'est au fond 

 qu'une autre manière d'écrire le second membre de l'identité primitive; mais si, 

 au contraire, le nombre des termes qui entrent dans l'identité (l) est infini, il faut 

 concevoir un nombre infini de transformations pour passer d'une suite à l'autre, trans- 

 formations qu'on n'effectue pas, à la vérité, parce qu'on se contente d'observer la loi 

 qu'il faut suivre pour passer, de l'ensemble des termes généraux qu'on envisage dans 

 l'une des suites, au terme général de l'autre; mais cette idée d'infini dans le nombre 

 de ces transformations ne peut-elle pas modifier le résultat? et n'est-il pas à craindre 

 qu'elle ne rende fausse la nouvelle relation qu'on en déduit? En d'autres termes, en 

 admettant que S soit la limite d'une série infinie proposée, cette même quantité S 

 sera-t-elle encore la limite de toute série infinie qu'on en pourra déduire, lorsque cette 

 dernière série aura également une limite fixe. 



Nous n'hésiterons pas à répondre, et nous reconnaftrons, par les considérations dans 

 lesquelles nous allons entrer qu'il est possible, dans certains cas, que ces limites soient 

 différentes et que, par conséquent, on ne saurait admettre généralement comme 

 rigoureusement exactes des séries infinies déduites d'autres séries par un procédé ana- 

 logue à celui que nous venons de présenter. 



Bien plus, nous avons reconnu qu'il pouvait arriver que deux séries infinies ayant 

 les mêmes termes, seulement dans un ordre différent, eussent pour limites des valeurs 

 diiférentes. 



§ 3. Si les séries (1) et (2) présentent l'une et l'autre le caractère des séries con- 

 vergentes, c'est-à-dire, si ces séries sont telles qu'en prenant un nombre suffisant de 

 termes, la somme des termes négligés puisse, dans l'une et l'autre série, être rendue 



