4 G. OLTRAMARE. — MÉMOIRE 



plus petite que toute quantité donnée, il est manifeste que les limites des séries ne 

 pourront différer d'une quantité finie, et par conséquent, seront les mêmes, la série 

 déduite de la série proposée sera parfaitement rigoureuse. 



Mais si l'une ou l'autre série ne présente pas ce caractère; si, par exemple, la 

 série proposée est mixtopériodique, ou si, la série proposée étant convergente, la série 

 déduite est mixtopériodique, ou encore, si les deux séries sont mixtopériodiques, il 

 n'en sera plus ainsi et leurs limites pourront différer d'une quantité finie. 



§ 4. Proposons-nous d'abord une série mixtopériodique de la forme 



S=^M + ? (i) — Y (2) -L- T (3) —....+ ï (m) — î {m + i) +... (1) 



telle que, pour des valeurs de m de plus en plus grandes, deux termes consécutifs 



? (m) , — T («t+i) 

 convergentes vers des limites fixes égales et des signes contiaires que nous désignerons 

 par >/, et — M^ 



Si, de plus, nous admettons que la série proposée, dont les termes peuvent aller en 

 croissant ou décroissant, est telle que la différence entre deux termes consécutifs, 

 abstraction faite de leur ligne, est d'autant plus petite que le nombre m est plus grand, 

 cette série pourra se mettre sous la forme 



S=^N+a — b + c — d+... (2) 



N représentant ensemble des termes qui précèdent la suite 



a — b+ c — (/+.. 

 pour laquelle on a l'une ou l'autre des inégalités 



a>h> c> d> ... (K l}< c<d<.... (3) 



soient maintenant >. et y- deux quantités quelconques, et faisons, pour abréger 



a' r=z m — (/i , b' =^\b — piC , c' ^^^ic — ^id , ... (a) 

 a" =).«' — iLb' , b" =i6' — (*c' , c" -^iC — ^d , ... (b) 

 a'" =^\a" — i>.b" , b"'=^ib" — pC" , c''=^>.c" — ad" , ... (c) 



„M"^'= , *("■) = ),*('"-'■' — pc""-'^ , é"'^ =\é"'-'^ — i^c^'^'\.-. (m) 



