SUR LES SÉRIES MIXTOPÉRIODIQXJES. 5 



En substituant dans la formule (2) pour a, b, c, ... leurs valeurs déduites des 

 relations (a) nous obtiendrons la nouvelle série 



S^N+-^a+^{a'-b'+c'-d'+..) (4) 



Comme les termes a' , b' , c' ,(l' , ... sont tous de même signe, en vertu des inéga- 

 lités (3), cette série sera composée d'une suite de termes alternativement positifs et 

 négatifs; de plus, ces termes allant en diminuant et ayant, par hypothèse, zéro pour 

 limite de leur décroissance, elle peut être considérée comme convergente, et par con- 

 séquent comme ayant une limite fixe. 



Remarquons, en outre, que la limite de cette série est nécessairement la même que 

 celle de la série mixtopériodique proposée, puisqu'en prenant un nombre considérable, 

 mais limité, de termes, on approche de la valeur du second membre de l'égalité (2) 

 autant qu'on le désire. 



En opérant sur cette deinière série comme nous l'avons fait sur la série (2), nous 

 obtiendrons, à l'aide des relations (b), une seconde transformée 



Nous trouverons de même, à l'aide des relations (c) 



Et généralement nous pourrons écrire : 



Nous désignerons ces différentes suites, qui peuvent toutes être considérées comme 

 comprises dans celte suite générale (A), sous le nom de transformées auxiliaires. 

 Lorsqu'elles seront reconnues convergentes, elles auront pour limite la valeur même de 

 la série mixtopériodique à l'aide de laquelle elles sont formées, et pourront servir à en 

 calculer la valeur avec tout le degré d'approximation désirable. 



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