SUR LES SERIES MIXTOPERIODIQUES. / 



Nous pourrons donc, pour déterminer la valeur de r r — J, faire usage des trans- 

 formées auxiliaires, et écrire, en apposant x = p = 1 



1 1.S.3..(s-i ) (q-p) f-^ _ /.g.3... (^-/) (g-f) )r'' , /a^ 



■"■"'" 2»-' (q+i)(2q+i)..(sq+1) 2'-< {êq+^)(3q+i)..{(s+i) q+i)'^ ■• ^' 



formule qui donnera la valeur de la série mixtopériodique avec tout le degré d'exacti- 

 tude qu'on voudra. Si, au lieu des différentes suites représentées par cette série, on en 

 prenait d'autres formées plus ou moins arbitrairement, à l'aide des termes de la série 

 proposée, il pourrait arriver que les résultats fussent complètement erronnés, lors 

 même qu'on se serait assuré que les séries obtenues sont convergentes; c'est ce qu'il 

 est facile de mettre en évidence. 



§ 6. Supposons, en premier lieu, que, pour obtenir la valeuf cherchée, nous réunis- 

 sions les termes de la série proposée deux à deux, en formant un seul terme du l'^'et 

 du 2"''=, du 3""" et du A""^, et ainsi de suite, nous obtiendrons : 



A _ Q-v I g-p , 1-p 



j O' i_ 1-f I i^\ 



{'l + mq + t) ' (3q+IWq+1) ' [Hq+rm+i] 



dont il facile de reconnaître la convergence, et qui, par conséquent, a une valeur fixe 

 que nous avons désignée par A. 



Si, en second lieu, nous réunissons les termes de la série (1) deux à deux, en formant 

 un seul terme du S""* et du 3™«, du 4""' et du S""", et ainsi de suite, nous trouverons 

 la suite également convergente : 



D_P+^ £_-p q-P a\ 



q + i (2q+i)(3q + i) (4q+i)(5q + i) "• ^ '' 



On pourrait croire, au premier abord, que ces valeurs 4 et £ ne sont autre chose 

 que les valeurs de T f— ") mises sous de nouvelles formes ; cependant, il n'en est 

 point ainsi, et il est aisé de s'assurer que la valeur de la série T f— -J n'est point 

 égale aux valeurs A el B. 



