SIR LES SÉRIES MIXTOPÉRIODIQUES. 9 



série (4) lui est supérieure de cette même quantité, et que, par conséquent, on ne 

 saurait employer ces séries pour déterminer la valeur de la série proposée. 



§ 7. On pourra se rendre compte de ces résultats en remarquant que, lorsque dans 

 la série mixtopériodique on suppose m infiniment grand, cette série se transforme 

 dans la série périodique 



-1. Tl — t-l. H — 

 1 ri 1 



dont la valeur dans cet exemple particulier est -|- -|- ou — f'- selon que l'on suppose 



que la, série commence par un terme positif ou un terme négatif. 



En elfet, la valeur de la série périodique n'est autre chose que ce que devient 



l'expression 



, / mp+i (m+Z) /)+/ . (m+g) p+/ \ 



— \ mq+1 (m-i--/) q+i "■ (m+S) q+1 ' ' ' j 



lorsqu'on y suppose m infini. 



Or, en transformant cette série en série auxiliaire, on a : 



, / / mp+i i_ [m\1\ (q-p) / { m+ê) iq—p) 



— \ S mq+1 '^ 4 (mq+1) (im+l) q+i) 4 {(m+1) q+i) [{m+2) q+1) ''"' 



ï) 



valeur qui se réduit à + ^ lorsque m est infini. 



Cela posé, il est manifeste que, lorsqu'on réunit les termes deux à deux en com- 

 mençant par un terme positif, comme on l'a fait pour arriver à la valeur^, on annule 

 ou fait disparaître une série périodique commençant par un terme positif 



1 '1 Q ■■■ sq 

 ce qui conduit à une valeur de la série trop petite de la quantité ^ ; tandis qu'au 



contraire, en réunissant les termes deux à deux, en commençant par un terme négatif, 



comme on l'a fait pour parvenir à la valeur B, on annule ou fait disparaître cette 



même série périodique commençant par un terme négatif, ce qui conduit à une valeur 



de la série trop grande de cette même quantité y- 



Nous pourrons faire remarquer que, si la série mixtopériodique a pour valeur 



la limite des séries transformées auxiliaires, c'est que ces dernières séries ont l'avantage 



de ne point faiie disparaître la série périodique à laquelle la suite proposée donne 



naissance, puisqu'on peut, avec leur aide, déterminer la valeur de la série périodique. 



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