10 G. OLTRAMARE. — MÉMOIRE 



§ 8. Si nous considérons en second lieu la série mixtopériodique 



V p-\--t P+S "• p+S •••"TV / p-J-TO I ••• 



on pourra facilement reconnaître que les p premiers termes sont décroissants et alter- 

 nativement positifs et négatifs, mais qu'à partir du terme p -\- i, tous les termes 

 changent de signe et sont croissants, en se rapprochant des limites fixes — i et -\- i. 



Si donc on voulait estimer la valeur de cette série en la transformant en la série 

 auxiliaire, il faudrait poser 



k-t 



p+i p+2^p+3 ■■"•" p+k 

 k représentant la partie entière de p, et s sa partie fi'actionnaire, de sorte que : 



S - JV -I- (-1\'' \ ''-' — ^-' 4- ^-' — 4- l 1\'' '"''' -t- i 

 ""'"'" ^ ' \p+k+i p^k+2'^pH+3 ■•"'"^ ' p+k+m^ --] 



on obtiendrait ainsi pour première transformée en supposant ' := i^ =-^ 



<. _ p-^ _ p-5 (-1)s Y' i ^-^ _ L '+P+'' A. ] 



<" p+1 p-Y2^"'^ p+k '^^ ' f 2(p+k+i) 4 (p+k+^)(p+k+ê)^ '" ) 



nous ne nous arrêterons pas davantage sur cette suite, que nous aurons lieu de con- 

 sidérer plus loin. 



§ 9. Passons maintenant à l'examen d'une série mixtopériodique dont le nombre 

 des termes de la période est un nombre quelconque n ; une telle série pourra s'écrire : 



S=M + ...+ '{{m-k) -f- i{m-k) + .-|- &(»?-/.•) + ¥(?n)-t-?(»0+--+ e(w)-t-?(>w-|-i{:)-f . (1) 

 M représentant un ensemble de termes non soumis à la loi de formation des termes. 



Pour parvenir à déterminer la somme de cette série, cherchons d'abord la valeur 

 de la série périodique à laquelle elle donne naissance, et, pour cela, posons : 

 S'=M + ...-\- '!{m-k) + ^m-k) + ...-\- o{m-k) (2) 



„P,„ = f{m) + ?(m) + . . . -I- 6(«') + '"(''»4^) + ^(«+/'^) + • • • + ''(»'+^^) + • • (^) 



il est évident qu'en supposant dans cette dernière relation m infiniment grand, ^P^ ne 

 sera autre chose que la valeur de la série périodique cherchée. 



