SUR LES SÉRIES MIXTOPÉRIODIQUES. ^^ 



Remarquons maintenant, qu'en supposant m infiniment grand, nous aurons : 



t{i)i) + ?(w) 4- >i(»«) +... + z(w) + 9(m) = (4) 



^m) = ^m + /î:) = ?(m + SA:) =. . . = ?(»2 + sk) ( ,_, 



G(»t) = 6(?w -|- k) = i){m 4- 2/f) =.. . =^ o(ffl -|- sA-) 



de plus, en posant : 



,P „='■{'») +■• +^H»') + î(m + ^) + ■■ +e(m+A-) 4-... 

 /^_^= >!'(m) +..4- f;(w) + '?fw+ /f) + .. + ^{m-\-k) +... 



„.,^„= e(/») + ï(m+/f) + .. 4- K'«+/') +•■■ 

 qu'on peut écrire en vertu des équations (5) 



/„ = ?(»0 + • • • + "{m) + 'K»0 + Km^k) + • • • 

 A = ^("0 + • • • + ''("0 + Km) + "*'(»*+ /^) + • • • 



„.,^,„ = K»0 + + z(»î) + o(«H-A) + . . 



nous pourrons mettre l'égalité (1) sous les n formes suivantes : 

 S = S' + P 



' m 



(6) 



(7) 



En faisant la somme de ces égalités membre à membre, nous obtiendrons, en y 

 joignant l'égalité (4) 



nS = nS' 4- n,{m) 4. (•«-i)?(»0 + . . + 2x(»0 4- '>('»') + /,„ + /,„ + • • + .^.^^P» (8) 



Remarquons maintenant qu'en vertu des équations (3) et (5) la valeur de P^ peut 

 se mettre sous la forme 



P^^ = m(m) + b\{m) 4 c'r(«?) + . . . + k<i{m) (9) 



en désignant par a,b,c, ....k des constantes par rapport à m qu'il s'agira de déterminer. 



