12 G. OLTRAMARE. — MÉMOIRE 



Nous obtiendrons ainsi, à l'aide des relations (7), la suite d'égalités 

 ^P„_ r=: «.?(}«) + bw(m) + ...+ h{m) 

 P = ar{m) -\- ... . . . + ki{m) 



n-1 m 



^P^_ = a5(m) + . . . . . .+ kyhi) 



additionnant toutes ces équations, on obtient, en tenant compte de la relation (4) 



comme de plus 



n^ = nS' + J« P 



nous pourrons écrire l'équation (8) sous la forme plus simple 



na^{m)-irnH{m)-\-nev{m) 4-...+«^9(?n) = »?(}») -f {ii-i)l{ii) + (w-2)'r(»?) -(-..-f 6{m) 



d'où l'on déduit : 



on a donc, au moyen de l'équation (9) 



p ? iy(OT) + (n-i)-.{m) + (n-2)f{m) +..+ g/.(m) + 0{m) 



m n 



expression qui donnera la valeur de la série périodique, à laquelle donne naissance 

 la série mixtopériodique proposée, lorsqu'on y fera m infiniment grand ou lorsqu'on 

 substituera aux fonctions ?(m), ?(m), .... e(m) leurs valeurs aux limites 3/, , M, , ... M„ 



On a donc ainsi : 



_ nM, -f (n-1)M, + (»-g)3/, + ...+ M» 



n 

 pour la valeur de la série périodique cherchée. 



On reconnaît ainsi que la valeur de la série périodique, qui naît d'une série mixto- 

 périodique proposée, dépend non seulement du nombre n des termes qui constituent 

 la période et de la valeur absolue de ces limites M, , 3/,, .... 3/„ mais encore, et 

 ceci est assez remarquable, de l'ordre dans lequel ces termes se présentent. 



§ 10. Maintenant que nous sommes parvenus à estimer la valeur de la série pério- 

 dique à laquelle donne naissance une série mixtopériodique, il nous sera facile de 

 trouver la valeur de cette dernière série. 



