18 G. OLTRAMARE. — MÉMOIRE 



Nous avons déjà reconnu qu'en changeant l'ordre des termes d'une série mixto- 

 périodique, ou en groupant les termes d'une façon plus ou moins arbitraire, on pou- 

 vait en changer la valeur; et très-certainement il existe encore d'autres opérations qui, 

 appliquées aux séries infinies, peuvent conduire à des résultats erronnés ; on sait, par 

 exemple, que deux fonctions égales ont des différentielles égales, mais cette proposi- 

 tion est-elle encore vraie lorsqu'une des fonctions est composée d'un nombre infini de 

 termes ? Abel a déjà reconnu, mais sans expliquer la cause pour laquelle on arrivait 

 à un pareil résultat, que l'on ne pouvait pas différencier par rapport à a les deux 

 membres de la suite 



Q = sin a — -^s,in 2a -\- , sm 3a — ... 



qui est cependant rigoureusement exacte pour toute valeur de a comprise entre t: 

 et — 77. 



Est-on même bien fixé sur ce qu'on entend par série convergente ? 



C'est ce dont il est permis de douter, lorsqu'on examine les définitions qu'on en a 

 données, et en particulier celle de l'auteur qui a apporté le plus de rigueur dans ces 

 matières, de l'illustre Cauchy qui, dans son cours d'analyse de l'École polytechnique, 

 s'exprime en ces termes : 



« Une série quelconque 



Vo + V, + V, + ... + F„ + ... 



» sera dite convergente, si, pour des valeurs toujours croissantes de m, la somme 



Vo + V, + V, + .. F„ 

 » s'approche indéfiniment d'une certaine limite. Cette limite s'appellera la somme de 

 s la série. Dans le cas contraire, la série sera dite divergente et elle n'a pas de somme. 



» D'après cette définition, pour qu'une série soit convergente, il est nécessaire et 

 » il suffit que, pour des valeurs toujours croissantes de m, la somme 



» s'approche indéfiniment de zéro, quelle que soit la valeur de n. Donc, dans une série 

 » convergente quelconque, le terme général F,„ s'approchera indéfiniment de zéro. » 



