20 G. OLTRAMARE. — MÉMOIRE 



Soient x{^, n) et ?((?,w) deux fonctions de a et de n qui, pour des valeurs de la 

 "variable a comprises entre deux limites a' et a", conservent une valeur finie, lorsque 

 n devient de plus en plus grand ; soit de plus f{a, n) une fonction telle, qu'en désignant 

 par k et k' deux quantités constantes, on ait trouvé l'identité : 



?(«, i) -f- t{a, 2) + .. -f ?(«, n) = Y(a) -f - z(a, n) sin kan -f ?(«, n) cos k'mi) (1) 



"¥(0) représentant une fonction quelconque de a. 



Si nous supposons que n devienne de plus en plus grand, le premier nombre de 

 cette identité se convertira en une série infinie de termes ; quant au second membre, 

 comme l'expression 



- '/-{d, n) sin kan -4- ?(«, n) cos k'an \ 



se rapproche de zéro, il convergera vers la limite t(«), et nous aurons ainsi : 

 <?(«, i) -(- ï(ff, 3) -1- K«. ■5) -I- ... = t(«) 



Bien que cette dernière identité subsiste pour toute valeur de a comprise entre 

 les limites a' et œ", il est facile de reconnaître qu'il n'est point permis d'en déduire par 

 la différenciation une nouvelle série et de poser 



¥'(«, i) -1- ?'(«, 2) + ¥'(«, 5) -f- .. = T'(«) 

 en faisant ?'(«, m) = y f(«, m) et m- (a) = — — 



En effet, en différenciant l'égalité (1) par rapport à a, nous obtenons : 

 ?'(«, i) -\-t\a, S) -l" .. -f T'(fl, n) =: >!'(«) + kx{a, n) cos kan — k''i{a, n) sin k'an 



+ - I x'(«, n) sin kan ■\- ?'(«, n) cos k'an\ 



et en supposant îi infini, le second membre ne se réduit pas simplement à ^'(ffl), mais 

 à cette valeur augmentée de la quantité indéterminée 



/«/.(a, n) cos kan ■ — k'l{a, n) sin k'an 



On voit ainsi que, pour être en droit de différencier les deux membres d'une identité 

 dont l'un des membres est représenté par une série infinie convergente, il faut être 

 assuré que la nouvelle série obtenue est également une série convergente. 



