SUR LES SÉRIES MIXTOPÉRIODIQUES. "'' 



Réciproquement, si l'on avait la série 



^(a, i) ^ o{a, 2) + .. -[- T(a, w) = M(a) -f x(a, w) sin Aaw + ?(«, w) ces k'an 

 dont la valeur est indéterminée lorsqu'on y suppose que n est infini, et qui, par con- 

 séquent, représente une série divergente. 



En en multipliant les deux membres par fi?a et en intégrant entre les limites «' et a, 

 nous aurons, en posant pjDur abréger 



?(a, vi) — f,(a, m) -\- C 



F = ?,(«'.^) + ^(«''S) + 'f,(«'.5) + .. 

 la relation 



,f,(^a, i) + ?,(a,2)-j- . ^/ï' -f- \ 'i'{a)da^ \ |z(œ,w)sin kan-\- l{a,n)cosk'an]da 



Si, maintenant, en faisant w =^. ce , l'intégrale : 



x{a, n) sin kan -{- l{a, n) cos k'an | da 



est égale à une quantité finie 'i{a), nous obtiendrons la valeur de la série 



r.a 

 ?,(«, i) + î,(«, 2) + T,(ff, 5) + ... = F + Y{a)da -}- i{a) 



dont on ne saurait égaler les différentielles des deux membres. 



§ 15. Pour appliquer ces considérations à la série proposée par Abel, écrivons : 



<f(a;) = cos a; -|- cos (.i; -\- a) -\- cos (a; -f- 2«) -|- ... -|- cos {x -\- {n-i)a) (1) 



nous aurons évidemment 



^(rc) z= A coh X — S sin a; 



^ et B étant des fonctions de a données par les relations 



Atz^ i -f cos « + cos 2« -|- + cos {n-i)a (2) 



B = sin a -\- sin 2a -\- .. -\- sin {n-i)a (3) 



